인수분해는 다항식의 전개와 반대 방향으로 식을 바라보는 과정입니다. 전개가 여러 식의 곱을 하나의 다항식으로 만드는 과정이라면, 인수분해는 하나의 다항식을 다시 여러 다항식의 곱으로 나타내는 과정입니다. 따라서 인수분해 공식을 따로 외우기보다 이미 학습한 곱셈 공식을 거꾸로 이용한다는 관점에서 이해하는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 인수분해의 뜻과 인수의 의미를 먼저 확인하고, 기본 공식과 공식이 만들어지는 과정, 인수분해할 때 주의해야 할 사항까지 차례로 정리해 보겠습니다.
인수분해
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 이때 곱을 이루는 각각의 다항식을 다항식의 인수라 합니다.
이처럼 인수분해는 다항식의 전개 과정을 거꾸로 생각하면 됩니다. 곱을 이루는 각각의 다항식을 다항식의 인수라 하므로 $x+2$, $x+3$은 $x^2+5x+6$의 인수입니다.
인수분해의 기본 공식
인수분해는 다항식의 전개 과정을 거꾸로 생각하면 되므로 곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾸면 다음과 같은 인수분해 공식을 얻을 수 있습니다.
- $ma+mb=m(a+b)$ (공통인수 공식)
- $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ (완전제곱식)
- $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ (제곱의 합·차 공식)
- $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
- $acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
- $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$
- $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$ - $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (세제곱의 합)
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ (세제곱의 차) - $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$ - $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
9 설명
곱셈공식에서 다음이 성립함을 정리하였습니다.
- $a^3+b^3+c^3-3abc$
$=(a+b+c){\color{blue}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$
식의 뒤쪽 부분을 다음과 같이 변형하여 정리할 수 있습니다.
$\color{blue}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$=\dfrac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$
$=\dfrac{1}{2}\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\}$
$=\dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
따라서 다음이 성립합니다.
- $a^3+b^3+c^3-3abc$
$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
10. 설명
$a^4+a^2b^2+b^4$
$=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2-a^2b^2$
$=(a^2+b^2)^2-(ab)^2$
$=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
유의 사항
인수분해를 할 때 다음에 유의 해야 합니다.
- 인수분해는 특별한 조건이 없으면 인수분해된 식의 계수를 유리수 범위로 한정하여 생각하고, 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 인수분해한다.
- $(x-1)(x^2-9)$을 인수분해 하면 $(x-1)(x+3)(x-3)$이고, $(x-1)(x^2-3)$을 $(x-1)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$로 인수분해 하지 않는다.
- $x^2+5x+6=x(x+5)+6$과 같이 나타내는 것은 인수분해가 아니다.
인수분해의 기본 공식은 새로운 공식이 아니라 곱셈 공식을 거꾸로 이용한 결과입니다. 따라서 각 공식을 단순히 암기하기보다 전개했을 때 원래 다항식으로 돌아가는지를 함께 확인하면 식의 구조를 더욱 쉽게 이해할 수 있습니다. 또한 인수분해에서는 공통인수와 완전제곱식, 제곱과 세제곱의 합·차 등 식의 형태를 먼저 살펴보고, 특별한 조건이 없다면 유리수 범위에서 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 정리해야 합니다. 이러한 기본 원리를 정확히 익혀 두면 이후 다양한 형태의 인수분해 문제에서도 적절한 공식을 선택하여 체계적으로 해결할 수 있습니다.