나머지정리를 이용하면 다항식을 직접 나누지 않고도 어떤 일차식으로 나누어떨어지는지를 판단할 수 있습니다. 특히 나머지가 $0$이라는 사실은 다항식이 특정 일차식을 인수로 갖는다는 의미와 연결되며, 이를 정리한 것이 인수정리입니다. 이번 글에서는 나머지정리에서 인수정리가 어떻게 만들어지는지 살펴보고, 하나 또는 두 개의 일차식을 인수로 갖는 경우에 미정계수를 구하는 방법까지 정리해 보겠습니다.
인수정리
나머지정리에 의하여 다항식 $f(x)$에 대하여 다음과 같은 인수정리가 성립합니다.
- $f(a)=0$이면 $f(x)$는 일차식 $x-a$로 나누어떨어진다.
- $f(x)$가 일차식 $x-a$로 나누어떨어지면 $f(a)=0$이다.
1. 설명
나머지정리에 의하여 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나눈 항등식의 나머지에 대하여 다음이 성립합니다.
- $f(x)=(x-a)Q(x)+R$, $R=f(a)$
이때 $f(a)=0$이면 $f(x)$는 $x-a$로 나누어떨어집니다.
2. 설명
$f(x)$가 $x-a$로 나누어떨어지면 다음과 같은 항등식을 만족합니다.
- $f(x)=(x-a)Q(x)$
따라서 $f(a)=0$입니다.
정리
다항식 $f(x)$에 대한 인수정리는 다음과 같이 간단히 정리할 수 있습니다.
- $x-a$를 인수로 갖는다$\Longleftrightarrow$ $f(a)=0$
더 나아가 다항식 $f(x)$에 대해 다음과 같은 표현은 동일한 표현입니다.
- $x-a$로 나누었을 때의 나머지가 $0$이다.
- $f(a)=0$
- $f(x)=(x-a)Q(x)$
- $$(x)$가 $x-a$로 나누어떨어진다.
- $f(x)$가 $x-a$를 인수로 갖는다.
예제
일차식으로 나눈 경우
다항식 $f(x)=x^3-4x^2+x+6$가 $x-2$을 인수로 갖음을 설명해 봅시다.
설명
$f(x)=x^3-4x^2+x+6=(x-2)Q(x)+R$이라 두고 $f(2)$를 계산하면 다음을 알 수 있습니다.
- $f(2)=2^3-4\times2^2+2+6=0$ 따라서 $R=0$
즉, $f(x)$는 $x-2$로 나누어떨어지고, 동시에 $x-2$를 인수로 갖습니다.
이 예제를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
- 인수정리를 이용하면 다항식이 어떤 일차식으로 나누어떨어지는지 쉽게 알 수 있다.
다항식 $f(x)=x^3-ax+2$가 $x+2$로 나누어떨어지도록 상수 $a$의 값을 구하는 과정을 설명해 봅시다.
설명
$f(x)=x^3-ax+2$가 $x+2$로 나누어떨어지면 인수정리에 의해 $f(-2)=0$이고 다음을 만족합니다.
- $f(-2)=(-2)^3-a\times(-2)+2=0$
따라서 $2a=6$이고 $a=3$입니다.
인수정리는 하나의 일차식을 인수로 갖는 경우뿐 아니라 여러 일차식의 곱으로 나누어떨어지는 경우에도 그대로 활용할 수 있습니다. 각각의 일차식을 $0$으로 만드는 값을 대입하면 여러 개의 조건을 얻을 수 있고, 이를 이용하여 다항식에 포함된 미정계수를 결정할 수 있습니다.
이차식으로 나누는 경우
다항식 $x^3-ax^2+bx-2$가 $(x-1)(x+2)$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$를 구해 봅시다.
풀이1. 인수정리
$f(x)=x^3-ax^2+bx-2$로 두자. $f(x)$가 $(x-1)(x+2)$로 나누어떨어지므로 $f(x)$는 $x-1$, $x+2$로 각각 나누어 떨어집니다. 따라서 인수정리에 의하여 $f(1)=0,\;f(-2)=0$이고 다음이 성립합니다.
- $f(1)=0$에서 $1-a+b-2=0$이고, $-a+b=1\cdots(1)$
- $f(-2)=0$에서 $-8-4a-2b-2=0$, $2a+b=-5\cdots(2)$
(1), (2)를 연립하여 풀면 $a=-2$, $b=-1$입니다.
풀이2. 조립제법
$x^3-ax^2+bx-2$가 $x-1$, $x+2$로 각각 나누어떨어지므로 다음 조립제법에 의하여
$\begin{array}{rl} 1\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 1 & -a & b & -2\\ & 1 & \phantom{{}+b}-a+1 & -a+b+1 \end{array}}\\ & \begin{array}{rrrr} 1 & -a+1 & -a+b+1 & \boxed{-a+b-1} \end{array}\\[0.8em] -2\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrr} 1 & -a+1 & -a+b+1\\ & -2 & 2a+2 \end{array}}\\ & \begin{array}{rrr} 1 & -a-1 & \phantom{{}-}\boxed{a+b+3} \end{array} \end{array}$
$-a+b-1=0,\;a+b+3=0$
두 식을 연립하여 풀면 $a=-2$, $b=-1$ 입니다.
이차식에 인수정리를 적용하는 문제를 통해 다음과 같은 사실이 일반적으로 성립함을 정리할 수 있습니다.
인수정리 확장
다항식 $f(x)$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $x-a$를 인수로 갖는다$\Longleftrightarrow$ $f(a)=0$
- $x-a$, $x-b$ 를 인수로 갖는다$\Longleftrightarrow$ $f(a)=0$, $f(b)=0$
- $x-a$, $x-b$, $x-c$ 를 인수로 갖는다$\Longleftrightarrow$ $f(a)=0$, $f(b)=0$, $f(c)=0$
확인문제
다항식 $2x^3-5x^2+ax+b$가 $2x+1$, $x-1$로 각각 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.
정답
$-1$
다항식 $-x^4+ax^2-2x+b$가 $x^2-x-2$로 나누어떨어질 때, 이 다항식을 $x+3$으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
정답
$-20$
인수정리는 다항식이 특정한 일차식을 인수로 갖는지를 함수값 하나로 판단하게 해 주는 중요한 정리입니다. $f(x)$가 $x-a$로 나누어떨어지는 것과 $f(a)=0$은 서로 같은 의미이며, 여러 일차식의 곱으로 나누어떨어지는 경우에는 각각의 근을 대입하여 여러 조건을 얻을 수 있습니다. 이러한 관계를 이해하면 직접 나눗셈을 하지 않고도 미정계수를 구하거나 인수의 존재를 판단할 수 있고, 이후 인수분해를 학습할 때에도 핵심적인 도구로 활용할 수 있습니다.