인수분해 적용 문제

인수분해 적용 문제

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인수분해 문제를 해결할 때 가장 중요한 것은 식의 모양을 보고 어떤 공식을 적용할 수 있는지 판단하는 것입니다. 같은 인수분해라도 항의 개수와 식의 구조에 따라 접근 방법이 달라지므로, 공식을 무작정 적용하기보다 먼저 공통인수가 있는지, 제곱이나 세제곱의 합·차 형태인지, 완전제곱식으로 만들 수 있는지를 확인해야 합니다. 이번 글에서는 공통인수가 있는 경우부터 항이 두 개, 세 개, 네 개인 경우까지 나누어 대표적인 인수분해 방법을 정리하고, 여러 예제를 통해 식의 구조를 파악하는 방법을 살펴보겠습니다.

인수분해 적용

1. 공통인수가 있을 때

$ma+mb=m(a+b)$

예 $a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$

2. 항이 두 개일 때

항이 두 개 일 때 다음과 같은 유형이면, 합차공식을 이용할 수 있습니다.

  1. 제곱 형태: 제곱의 합·차 공식 이용
    • $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
    • $25x^2-9y^2=(5x)^2-(3y)^2=(5x+3y)(5x-3y)$
  2. 세제곱 형태: 세제곱의 합·차 공식 이용
    • $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ (복부호동순)
    • $x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$

예제

$(2a-3b)^2-4b^2$을 인수분해 하여라.

풀이

$(준식)=(2a-3b)^2-(2b)^2$
$=\{(2a-3b)+2b\}\{(2a-3b)-2b\}$
$=(2a-b)(2a-5b)$

$(3x-2)^2-(x+1)^2$을 인수분해 하여라.

풀이

$(준식)=\{(3x-2)+(x+1)\}\{(3x-2)-(x+1)\}$
$=(4x-1)(2x-3)$

$8x^3+27y^3$을 인수분해 하여라.

풀이

$(준식)=(2x)^3+(3y)^3$
$=(2x+3y)\{(2x)^2-2x\times3y+(3y)^2\}$
$=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

$2ax^3+16ay^3$을 인수분해 하여라.

풀이

$(준식)=2a(x^3+8y^3)$
$=2a\{x^3+(2y)^3\}$
$=2a(x+2y)\{x^2-x\times2y+(2y)^2\}$
$=2a(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$

$(x+2)^3-1$을 인수분해 하여라.

5. 풀이

$(준식)=(x+2)^3-1^3$
$=(x+2-1)\{(x+2)^2+(x+2)\times1+1^2\}$
$=(x+1)(x^2+5x+7)$

$a^6-b^6$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=(a^3)^2-(b^3)^2$
    $=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$
    $=(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

    3. 항이 세 개일 때

    항이 세 개 일 떄는 다음과 같은 공식을 적용할 수 있습니다.

    1. 완전제곱식
      • $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
      • $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
    2. 방정식 유형
      • x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
        $x^2-4x-5=(x+1)(x-5)$
      • $acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
        $4a^2+4a-3=(2a-1)(2a+3)$

    관련된 이론은 이차식의 인수분해를 참고해 주세요.

    예제

    $(x-1)^2+6(x-1)+9$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=(x-1)^2+2\times(x-1)\times3+3^2$
    $=\{(x-1)+3\}^2$
    $=(x+2)^2$

    $x^2-(2a+3)x+(a+1)(a+2)$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=\{x-(a+1)\}\{x-(a+2)\}$

    $=(x-a-1)(x-a-2)$

    항이 두 개와 세 개인 식에서는 기본 공식의 형태를 직접 찾아 적용했습니다. 항이 네 개인 경우에는 두 항씩 묶거나 완전제곱꼴을 만들어 식의 구조를 바꾸는 과정이 중요합니다.

    4. 항이 네 개일 때

    1. 두 항씩 묶어낸 후 공통인수를 찾는다.
      • $ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1)$
    2. 완전제곱꼴을 찾아서 $A^2-B^2$의 꼴로 변형한 후 제곱의 합·차 공식을 이용하여 인수분해한다.
      1. $a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$

    실제로 인수분해하면서 각 공식이 어떻게 사용되는지 살펴보겠습니다.

    예제

    $x^4+x^2z^2-y^2z^2-y^4$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=(x^4-y^4)+z^2(x^2-y^2)$
    $=(x^2+y^2)(x^2-y^2)+z^2(x^2-y^2)$
    $=(x^2-y^2)(x^2+y^2+z^2)$
    $=(x+y)(x-y)(x^2+y^2+z^2)$

    $a^2+4b^2-c^2-4ab$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=(a^2-4ab+4b^2)-c^2$
    $=(a-2b)^2-c^2$
    $=(a-2b+c)(a-2b-c)$

    $2xy+z^2-x^2-y^2$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=z^2-(x^2-2xy+y^2)$
    $=z^2-(x-y)^2$
    $=(z+x-y)(z-x+y)$

    $27x^3-27x^2+9x-1$을 인수분해 하여라.

    풀이

    $(준식)=(3x)^3-3\times(3x)^2\times1+3\times3x\times1^2-1^3$
    $=(3x-1)^3$

    인수분해는 식의 모양을 보고 적절한 공식을 선택하는 과정이 핵심입니다. 먼저 공통인수가 있는지 확인하고, 항이 두 개라면 제곱이나 세제곱의 합·차를, 항이 세 개라면 완전제곱식이나 이차식의 인수분해 공식을 살펴보는 것이 좋습니다. 항이 네 개인 경우에는 두 항씩 묶어 공통인수를 만들거나 완전제곱꼴을 찾아 $A^2-B^2$의 형태로 바꾸면 해결되는 경우가 많습니다. 기본 공식을 전개의 역과정으로 이해하고 식의 구조를 보는 연습을 하면 복잡한 인수분해 문제도 체계적으로 접근할 수 있습니다.