나머지정리

다항식 $f(x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$라 하면

$f(x)=(x-a)Q(x)+R$

이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 양변에 $x=a$를 대입하면

$f(a)=(a-a)Q(a)+R$　$\therefore R=f(a)$

다항식 $f(x)$를 $ax+b$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$라 하면

$f(x)=(ax+b)Q(x)+R$

이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 양변에 $x=-\dfrac{b}{a}$를 대입하면

$f\left(-\dfrac{b}{a}\right)=\left[a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b\right]Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+R$

$\therefore R=f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$

$f(x)=6x^3+2x-1$이라 하면 나머지정리에 의하여 구하는 나머지는 다음과 같습니다.

1. $f(2)=6\times2^3+2\times2-1=51$
2. $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=6\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+2\times\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{3}{4}$
3. $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=6\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3+2\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)-1=-\dfrac{37}{9}$

다항식 $f(x)$를 $(x-2)(x-3)$으로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax+b$ ($a$, $b$는 상수)라 하면 다음이 항등식이 성립합니다.

• $f(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b \cot(1)$

$f(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $5$이고, $x-3$으로 나누었을 때의 나머지가 $9$이므로 나머지 정리에 의해 다음이 성립합니다.

1. $f(2)=5$: $f(2)=2a+b=5 \cdot(2)$
2. $f(3)=9$: $f(3)=3a+b=9 \cdot(3)$

(2), (3)을 연립하여 풀면 $a=4$, $b=-3$ 따라서 구하는 나머지는 $4x-3$입니다.

다항식 $(x^2-x+1)f(x)$를 $x^2-4$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax+b$ ($a$, $b$는 상수)라 하면 다음 항등식이 성립합니다.

• $(x^2-x+1)f(x)=(x^2-4)Q(x)+ax+b$ $=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b\cdots(1)$

$f(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지가 $3$이고, $x+2$로 나누었을 때의 나머지가 $-1$이므로 나머지정리에 의하여 다음이 성립합니다.

1. $f(2)=3$: $3f(2)=2a+b=9\cdots(2)$
2. $f(-2)=-1$: $7f(-2)=-2a+b=-7\cdots(3)$　

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 $a=4$, $b=1$ 따라서 구하는 나머지는 $4x+1$입니다.

$f(x)$를 $(x-1)^2(x+1)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $ax^2+bx+c$ ($a$, $b$, $c$는 상수)라 하면 다음 항등식이 성립합니다.

• $f(x)=(x-1)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c\cdots(1)$

이때 $(x-1)^2(x+1)Q(x)$는 $(x-1)^2$으로 나누어떨어지므로 $f(x)$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지는 $ax^2+bx+c$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지와 같습니다. $ax^2+bx+c$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $3x+2$이므로

• $ax^2+bx+c=a(x-1)^2+3x+2\cdots(2)$

(1), (2)로 부터 $f(x)=(x-1)^2(x+1)Q(x)+a(x-1)^2+3x+2\cdots(3)$이고, $f(x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 나머지가 $3$이므로 다음이 성립합니다.

• (3)을 이용: $f(-1)=4a-3+2=3$, $a=1\cdots(4)$

따라서 구하는 나머지는 (3), (4)에 의해 $(x-1)^2+3x+2=x^2+x+3$입니다.