문자를 사용한 식에서는 문자에 어떤 수를 대입하느냐에 따라 식의 값이 달라집니다. 식의 값을 정확하게 구하려면 생략된 곱셈과 나눗셈 기호를 다시 생각하고, 문자 대신 수를 대입할 때 괄호를 사용하여 부호와 연산 순서를 정확하게 처리해야 합니다. 이번 글에서는 문자에 수를 대입하여 식의 값을 구하는 기본 방법부터 분수가 포함된 식에 분수를 대입했을 때 나타나는 번분수의 계산 원리까지 차례로 정리해 보겠습니다.
식의 값
식의 값에서 식은 문자를 사용한 식에 문자 대신 숫자를 넣어(대입) 계산한 값을 의미합니다.
- 문자를 사용한 식 $\longrightarrow$ 문자 대신 수 대입 $\longrightarrow$ 값
대입 규칙
문자가 포함된 식에 문자 대신 수(또는 식)를 대입할 때는 항상 괄호를 사용해서 대입하고, 생략된 곱셈과 나눗셈을 부활시켜 계산해야 합니다.
- 생략된 곱셈, 나눗셈 기호 부활
- 수(또는 식)대입: 항상 괄호를 사용
항상 괄호를 사용해야 하는 지에 대해 다음 예를 통해 생각해 봅시다.
- $a=2$ 대입: $3a+5 = 3\times (2) +5=11$
- $a=-2$ 대입: $3a+5 = 3\times (-2) +5=-1$
- $x=2$ 대입: $3x^2=3(2)^2$
- $3x^2\ne32^2$: 대입할 때 양수여도 괄호를 생각한 다음 생략이 가능할 때 생략해야 하는 이유
대입은 항상 괄호를 써서 대입해야 하고, 대입하는 수가 양수인 경우에 괄호를 생략할 수 있는지 생각해 보고 생략해야 실수가 없습니다. 이제 분수식에 분수를 대입하는 과정에 대해 살펴보자.
번분수
분수로 표현된 식에 분수를 대입하게 되면 분모와 분자에 분수가 포함된 식을 얻게 됩니다. 이 식을 처리하는 방법을 $\dfrac{b}{a}$에 $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{4}{9}$를 대입하는 과정을 통해 정리해 봅시다.
- 생략된 나눗셈을 이용한 계산
- $\dfrac{4}{9}\div\dfrac{2}{3}$$=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{2}$$=\dfrac{\bbox[#ffff00]{4\times 3}}{\bbox[#94feff]{9\times2}}$
- 직접 분수를 대입한 결과 (번분수)
- $\dfrac{\;\dfrac{\bbox[#ffff00]{4}}{\bbox[#94feff]{9}}\;}{\;\dfrac{\bbox[#94feff]{2}}{\bbox[#ffff00]{3}}}$
따라서 번분수 표현의 계산 결과는 다음과 같이 정리할 수 있음을 알 수 있습니다.
- $\dfrac{\;\dfrac{\bbox[#ffff00]{d}}{\bbox[#94feff]{c}}\;}{\;\dfrac{\bbox[#94feff]{b}}{\bbox[#ffff00]{a}}\;}=\dfrac{\bbox[#ffff00]{d\times a}}{\bbox[#94feff]{c\times b}}$
예제
$\dfrac{2b}{5a}$에 $a=\dfrac{2}{3}$, $b=-\dfrac{10}{3}$를 대입한 식의 값을 다음 두가지 방법으로 풀어봅시다.
- 생략된 나눗셈을 이용
- 번분수 표현을 이용
생략된 나눗셈을 이용한 풀이
$2b\div 5a$$= \left\{ 2\times \left(-\dfrac{10}{3}\right)\right\} \div \left\{ 5\times \left(\dfrac{2}{3}\right)\right\}$ $=-\dfrac{2\times10}{3}\times\dfrac{3}{5\times 2}$ $=-2$
번분수 표현을 이용한 풀이
$\dfrac{2\times\left(-\dfrac{10}{3}\right)}{5\times\dfrac{2}{3}}$ $=\dfrac{\bbox[#ffc5fd]{-}\dfrac{\bbox[#ffff00]{2\times10}}{\bbox[#94feff]{3}}}{\dfrac{\bbox[#94feff]{5\times2}}{\bbox[#ffff00]{3}}}$ $=\bbox[#ffc5fd]{-}\dfrac{\bbox[#ffff00]{2\times10\times3}}{\bbox[#94feff]{3\times 5\times2}}$ $=-2$
식의 값을 구하는 과정에서는 문자 대신 수를 정확하게 대입하고, 생략된 곱셈과 나눗셈을 다시 확인하는 것이 중요합니다. 특히 음수나 분수를 대입할 때에는 괄호를 사용하면 부호와 연산 순서에서 발생하는 실수를 줄일 수 있습니다. 또한 분모와 분자에 다시 분수가 포함된 번분수는 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 계산하는 원리와 연결하여 이해하면 쉽게 정리할 수 있습니다. 이러한 대입과 계산 방법은 이후 문자식과 대수식을 다루는 과정의 기본이 되므로 정확하게 익혀 두는 것이 좋습니다.