다항식의 나눗셈에 대한 항등식

$\begin{array}{rl} &\phantom{)}x^2+x\\ x^2-x+2\; &\enclose{longdiv}{x^4\phantom{{}+x^3}+x^2\phantom{{}+0x}+1}\\ &\underline{\phantom{)}x^4-x^3+2x^2\phantom{{}+x+1}}\\ &\phantom{)x^4+{}}x^3-x^2\phantom{{}+0x}+1\\ &\underline{\phantom{)x^4+{}}x^3-x^2+2x\phantom{{}+1}}\\ &\phantom{)x^4+x^3+x^2}-2x+1 \end{array}$

몫은 $x^2+x$이고 나머지는 $-2x+1$이므로, $x^4+x^2+1=(x^2-x+2)(x^2+x)-2x+1$이 성립합니다. 이 등식의 우변을 전개하여 정리하면 좌변과 같으므로 이 등식은 $x$에 대한 항등식입니다.

$x^4+ax^3+bx^2+3$을 $x^2-1$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+2x-13$, 나머지가 $2x-10$이므로 다음 항등식이 성립합니다.

$x^4+ax^3+bx^2+3=(x^2-1)(x^2+2x-13)+2x-10$
$=(x-1)(x+1)(x^2+2x-13)+2x-10$

이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 수치대입법을 이용해 아래와 같이 $a,\ b$를 구할 수 있습니다.

1. 양변에 $x=1$을 대입하면 $1+a+b+3=-8$이고, $a+b=-12$
2. 양변에 $x=-1$을 대입하면 $1-a+b+3=-12$이고, $-a+b=-16$

1, 2을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=-14$

등식의 우변을 $x-1$에 대한 내림차순이라 하며, 이때에는 $x-1$로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으로 이용하는 것이 편리합니다.

연속해서 조립제법을 적용한 결과를 한 단계씩 살펴보면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl} 1 \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 3 & 0 & -1 & 2\\ & 3 & 3 & 2 \end{array}}\\ &\begin{array}{rrrr} 3 & 3 & \phantom{{}-}2 & \boxed{4} \end{array} \end{array}\cdots(1)$$

$$\begin{array}{rl} 1 \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrr} 3 & 3 & 2\\ & 3 & 6 \end{array}}\\ &\begin{array}{rrr} 3 & 6 & \boxed{8} \end{array} \end{array}\cdots(2)$$

$$\begin{array}{rl} 1 \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rr} 3 & 6\\ & 3 \end{array}}\\ &\begin{array}{rr} 3 & \boxed{9} \end{array} \end{array}\cdots(3)$$

다항식의 나눗셈에 대한 항등식 표현으로 세 단계를 적용하고 전개하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$3x^3-x+2=(x-1)(3x^2+3x+2)+4\cdots(1)$
$=(x-1)\{(x-1)(3x+6)+8\}+4\cdots(2)$
$=(x-1)^2(3x+6)+8(x-1)+4$
$=(x-1)^2\{(x-1)\times3+9\}+8(x-1)+4\cdots(3)$

$=3(x-1)^3+9(x-1)^2+8(x-1)+4$

따라서 $a=3$, $b=9$, $c=8$, $d=4$입니다.

$x-1=y$라 하면 $x=y+1$이므로 주어진 등식은 다음과 같이 변형할 수 있고 이 또한 항등식입니다.

• $3(y+1)^3-(y+1)+2=ay^3+by^2+cy+d$

전개하여 계수비교법을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$3y^3+9y^2+8y+4=ay^3+by^2+cy+d$이고, 따라서 $a=3$, $b=9$, $c=8$, $d=4$