항등식과 미정계수법

항등식과 미정계수법 고등

작성자:

항등식은 문자에 어떤 값을 대입하더라도 항상 성립하는 등식으로, 방정식과 구별되는 중요한 개념입니다. 항등식의 뜻과 여러 가지 표현을 이해하면 양변의 계수를 비교하거나 적절한 값을 대입하여 정해지지 않은 계수를 구할 수 있습니다. 이번에는 항등식의 기본 성질과 이를 이용한 미정계수법까지 차례로 정리해 보겠습니다.

등식의 종류

항등식에 대한 내용은 중학교에서 이미 다루었습니다. 하지만 항등식에서 성립하는 성질에 대해서는 고등학교 과정에서 더 자세히 다루게 됩니다. 먼저 등식의 두 종류인 항등식과 방정식에 대해 간단히 복습하면서 항등식의 성질에 대해 정리해 보도록 합시다.

항등식과 방정식

등식에는 항등식과 방정식이 있고 각각 다음과 같이 정의합니다.

  • 등식의 종류
    1. 항등식: 문자를 포함한 등식에서 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식
    2. 방정식: 문자를 포함한 등식에서 문자에 특정한 값을 대입하였을 때에만 성립하는 등식

항등식과 방정식의 예시는 다음과 같습니다.

  1. $(x+1)^2=x^2+2x+1$과 같이 $x$에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식을 항등식이라 합니다.
  2. $x^2+3x-10=0$과 같이 $x$에 $-5$ 또는 $2$를 대입하였을 때에만 성립하는 등식을 방정식이라 합니다.

항등식과 방정식은 모두 문자를 포함한 등식이지만, 등식이 성립하는 문자의 값에 따라 구별됩니다. 이제 항등식을 나타내는 여러 가지 표현을 살펴보겠습니다.

항등식의 표현

다음 표현은 모두 $x$에 대한 항등식을 나타냅니다.

  1. $x$의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식
  2. 모든 $x$에 대하여 성립하는 등식
  3. 임의의 $x$에 대하여 성립하는 등식
  4. 어떤 $x$의 값에 대하여도 항상 성립하는 등식

항등식은 표현 방식이 달라도 결국 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다는 뜻을 가집니다. 이 뜻을 이용하면 항등식의 계수 사이에 성립하는 성질을 확인할 수 있습니다.

미정계수법

미정계수법이란, 항등식에서 정해져 있지 않은 계수를 정하는 방법을 미하고 수치대입법과 계수비교법이 있습니다.

  • 미정계수법: 항등식에서 정해져 있지 않은 계수를 결정하는 방법
    1. 수치대입법: 항등식은 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 문자에 적당한 수를 대입하여 미정계수를 정하는 방법(수치대입법을 사용할 때에는 미정계수의 개수만큼 서로 다른 값을 문자에 대입하여 연립)
    2. 계수비교법: 항등식의 양변의 동류항의 계수는 서로 같으므로 이 성질을 이용하여 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 정하는 방법

항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하기 때문에 수치대입법은 별다른 증명없이 사용할 수 있습니다.

1. 수치대입법

수치대입법을 이용해 등식 $a(x-2)+b(x-3)=x$가 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a$, $b$의 값을 구해 봅시다.

풀이

$x-2=0$, $x-3=0$을 만족시키는 $x$의 값, 즉 $x=2$, $x=3$을 대입한다.

  1. 양변에 $x=2$를 대입하면 $-b=2$　$\therefore b=-2$
  2. 양변에 $x=3$을 대입하면 $a=3$

이제 수치대입법을 이용해 계수비교법을 증명해 보도록 하겠습니다.

2. 계수비교법

항등식에서 미정계수를 결정하는 두 번째 방법은 계수비교법 입니다. 일차식과 이차식에서 계수비교법은 다음과 같습니다.

  1. $ax+b=0$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=0,\;b=0$
  2. $ax+b=a’x+b’$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=a’,\;b=b’$
  3. $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=0,\;b=0,\;c=0$
  4. $ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=a’,\;b=b’,\;c=c’$

▶ 기호 ‘$\Longleftrightarrow$’는 두 개의 문장이나 수식이 서로 같다는 의미입니다.

증명
  1. $ax+b=0$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=0,\;b=0$
    • $ax+b=0$이 $x$에 대한 항등식 이면 $x=0$과 $x=1$일 때 등호가 성립하고 각각 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
      $x=0$대입하면 $a\times 0+b=0$ 이고 따라서 $b=0$이고, $x=1$대입하면 $a\times 1=0$이고 따라서 $a=0$입니다.
    • $a=0,\;b=0$이면 $ax+b=0$이 $x$에 대한 항등식이 되는 것은 당연합니다.
  2. $ax+b=a’x+b’$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow$ $a=a’,\;b=b’$
    • 이 항등식에 등식의 성질을 적용하면, $\bbox[#ffff00]{(a-a’)}x+\bbox[#dcff8d]{(b-b’)}=0$ 입니다.
    • 1의 증명에 의해 $\bbox[#ffff00]{(a-a’)}x+\bbox[#dcff8d]{(b-b’)}=0$ $\Longleftrightarrow$ $\bbox[#ffff00]{(a-a’)}=0$, $\bbox[#dcff8d]{(b-b’)}=0$입니다.
    • 따라서 $\bbox[#ffff00]{a=a’}$, $\bbox[#dcff8d]{(b=b’)}$입니다.
  3. $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow a=0,\;b=0,\;c=0$
    • $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식이면 $x=0$을 대입하면 $c=0\cdots(1)$이고, $x=-1$을 대입하면 $a-b+c=0\cdots(2)$이고, $x=1$을 대입하면 $a+b+c=0\cdots(3)$ 입니다. 이 세 식을 연립하면 $a=0,\;b=0,\;c=0$입니다.
    • $a=0,\;b=0,\;c=0$이면 당연히 $ax^2+bx+c=0$의 계수가 모두 $0$이 되므로 당연히 $x$에 대한 항등식이 됩니다.
  4. $ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$이 $x$에 대한 항등식 $\Longleftrightarrow a=a’,\;b=b’,\;c=c’$
    • $ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$에 등식의 성질을 적용하면 $\bbox[#ffff00]{(a-a’)}x^2+\bbox[#dcff8d]{(b-b’)}x+\bbox[#94efef]{(c-c’)}=0$이고, 3의 증명에 의해서 $\bbox[#ffff00]{(a-a’)}=0$, $\bbox[#dcff8d]{(b-b’)}=0$, $\bbox[#94efef]{(c-c’)}=0$
    • 따라서 $\bbox[#ffff00]{a=a’}$, $\bbox[#dcff8d]{(b=b’)}$, $\bbox[#94efef]{(c=c’)}$입니다.

계수비교법을 적용해 예제를 풀고 마무리 하도록 하겠습니다.

예제

다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 정하시오.

  1. $(a-1)x^2+(b+2)x+3-c=0$
  2. $x^2+ax+6=bx^2+c$
풀이

계수비교법을 적용하면 다음과 같이 풀이할 수 있습니다.

  1. $a-1=0,\;b+2=0,\;3-c=0$이고 따라서 $a=1,\;b=-2,\;c=3$
  2. $a=0,\;b=1,\;c=6$

항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다는 성질을 바탕으로 계수 사이의 관계를 구할 수 있습니다. 미정계수법에서는 식의 구조에 따라 양변의 동류항을 비교하는 계수비교법과 계산이 간단해지는 값을 대입하는 수치대입법을 적절히 선택하여 활용하는 것이 중요합니다.