방정식을 풀 때 자주 사용하는 이항은 단순히 항의 위치를 바꾸고 부호를 바꾸는 규칙이 아니라 등식의 성질에서 만들어진 계산 방법입니다. 따라서 방정식의 풀이를 정확하게 이해하려면 먼저 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼고, 곱하거나 나누어도 등식이 성립하는 이유를 이해해야 합니다. 이번 글에서는 등식의 기본 성질을 이용하여 방정식을 풀이하는 과정을 살펴보고, 이항이 성립하는 원리와 방정식을 변형할 때 해가 어떻게 이어지는지까지 차례로 정리해 보겠습니다.
등식의 성질
등식의 좌변과 우변을 각 각 $\bbox[#ffff00]{\square},\;\bbox[#ffff00]{\triangle}$로 두면 등식은 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.
- $\bbox[#ffff00]{\square} \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle}$
위의 등식에서 좌변과 우변의 크기가 같으면 아래와 같은 이유로, 양변에 같은 수(식)을 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립하게 됩니다.
따라서 $\bbox[#ffff00]{\square} \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle}$일때, $\bigstar$을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 결과에서도 등식은 성립하고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $\bbox[#ffff00]{\square} + \bigstar\overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} + \bigstar $
- $\bbox[#ffff00]{\square} \,-\, \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \,-\, \bigstar$
- $\bbox[#ffff00]{\square} \times \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \times \bigstar$
- $\bbox[#ffff00]{\square} \div \bigstar \overset{\underset{\mathrm{\text{크기 같다}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{\triangle} \div \bigstar $ (단, $\bigstar\neq0$)
위의 사실은 음영으로 표기된 부분 끼리 크기가 같기 때문에 당연한 사실로 받아 들일 수 있습니다. (나눗셈 에서 0으로 나누는 상황은 무한대가 되므로 제외합니다.)
등식의 성질과 방정식의 풀이
등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀이하는 방법을 두 가지 예를 들어 살펴봅시다.
등식의 성질 1, 3 적용
$\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{3}$을 풀어보자.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}\cdots(1)\\
\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}x-1}+1\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}+1\cdots(2) \text{(등식의 성질1)}\\
\dfrac{1}{2}x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&3+1\cdots(3)\end{align}$
$x=\square$가 (1)의 해 이면 음영 부분이 같게 됩니다. 따라서 $x=\square$는 (2)의 등호도 만족시키는 해가 된다. 이를 정리하면 다음과 같습니다.
- 등식의 성질을 이용해 방정식을 변형해도 해는 그대로 계승(포함)된다.
(3)의 방정식을 정리한 방정식(4)에 등식의 성질3을 적용해 보면 다음과 같습니다.
$\begin{align}\dfrac{1}{2}x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&4\cdots(4)\\
\bbox[#94feff]{\dfrac{1}{2}}x \times \bbox[#ffff00]{2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&4\times\bbox[#ffff00]{2}\cdots(5)\text{(등식의 성질3)}\\
\therefore \; x=&8\cdots(6)\end{align}$
(4)의 방정식을 변형하여 $1x=\text{수}$ 형태로 정리하기 위해 $x$의 계수$\bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}\text{의 역수 2}}$를 양변에 곱해주면 위와 같은 풀이를 얻을 수 있습니다.
등식의 성질 2, 4
이번에는 $\bbox[#ffff00]{2x+3}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}\bbox[#ffff00]{5}$을 등식의 성질 2, 4를 이용해 풀어봅시다.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{2x+3}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{5}\cdots(1)\\[1em]
\bbox[#ffff00]{2x+3}-3\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{5}-3\cdots(2) \text{(등식의 성질2)}\\[1em]
2x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&5-3\cdots(3)\\[1em]
2x\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&2\cdots(4)\\[1em]
2x \div \bbox[#ffff00]{2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&2\div\bbox[#ffff00]{2}\cdots(5)\text{(등식의 성질4)}\\[1em]
\therefore \; x=&1\cdots(6)\end{align}$
등식의 성질 3, 4 관계
방정식(5)에서 양변을 동일한 수로 나누는 과정(등식의 성질4)을 역수를 곱하는 것(등식의 성질3)으로 생각하면 아래와 같이 나눗셈대신 곱셈으로 답을 계산할 수 있습니다.
- $2x \bbox[#ffff00]{\div 2}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}2\bbox[#ffff00]{\div2}\;\;\text{(등식의 성질4)}$
- $2x \bbox[#dcff8c]{\times \dfrac{1}{2}}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}2 \bbox[#dcff8c]{\times\dfrac{1}{2}}\;\;\text{(등식의 성질3)}$
나눗셈과 달리 곱셈은 교환 결합이 가능하므로 계산에 훨씬 유리합니다.
이항
방정식의 항 이나 식을 좌변$\rightarrow$우변, 우변$\rightarrow$좌변으로 이동할 때 부호를 반대로 바꾸면 등식이 성립합니다. 이 과정을 “항을 옮긴다”는 의미로 ‘$\bbox[#ffff00]{\text{이항}}$’ 이라 합니다. 그런데, 수식을 변형하는 과정에서 항을 옮겨도 괜찮을 까요?
어떤 이유에서 이항이 성립하는지에 대해 알아보기 위해등식의 성질 1, 3을 적용해 정리한 식을 각 각 다시 살펴봅시다.
등식의 성질 1과 이항
$\begin{align}\dfrac{1}{2}x\bbox[#ffff00]{-1}=&3\cdots(1)\\
\dfrac{1}{2}x-1+1=&3+1\cdots(2) \text{(등식의 성질1)}\\
\dfrac{1}{2}x=&3\bbox[#94feff]{+1}\cdots(3)\end{align}$
(1)에서 좌변의 $\bbox[#ffff00]{-1}$을 제거하기 위해 양변에 $\bbox[#94feff]{+1}$을 더하는 과정에서, 좌변의 $\bbox[#ffff00]{-1}$은 사라지고 우변에 $\bbox[#94feff]{+1}$만 남게 되고 이러한 이유에 의해 이항이 성립합니다.
등식의 성질 2과 이항
이제 등식의 성질 2를 적용한 문제에서 살펴봅시다.
$\begin{align}2x\bbox[#ffff00]{+3}=&5\cdots(1)\\[1em]
2x+3-3=&5-3\cdots(2) \text{(등식의 성질2)}\\[1em]
2x=&5\bbox[#94feff]{-3}\cdots(3)\end{align}$
(1)에서 좌변의 $\bbox[#ffff00]{+3}$을 제거하기 위해 양변에 $\bbox[#94feff]{3}$을 빼는 과정에서, 좌변의 $\bbox[#ffff00]{+3}$은 사라지고 우변에 $\bbox[#94feff]{-3}$만 남게 되고 이러한 이유에 의해 이항이 성립하게 됩니다.
이항의 본질
이항에 대해 더 명확히 할 필요가 있습니다. 이항은 등식의 성질을 조금 더 편하게 수행하기 위한 공식입니다. 이항만 암기하고 방정식을 풀이하는 것은 공식을 암기하여 수학문제를 해결하는 것과 같습니다. 등식의 성질을 여러번 수행하여 자연스럽게 이항의 개념이 암기될 수 있도록 학습하길 바랍니다.
방정식의 풀이와 해의 관계(심화)
다음에서 방정식(1)과 (2)의 해의 관계에 대해 생각해 봅시다.
$\begin{align}\bbox[#ffff00]{2x-1}\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}\cdots(1)\\
\bbox[#ffff00]{2x-1}+1\overset{\underset{\mathrm{\text{방정식}}}{}}{=}&\bbox[#ffff00]{3}+1\cdots(2)\end{align}$
- (1)이 $x=\square$을 해로 갖는다고 하면,
- (2)도 $x=\square$를 해로 갖는다. (음영부분 등호성립)
따라서 등식의 성질을 이용해 새로 만든 방정식(2)는 기존의 방정식(1)의 해를 갖는 방정식입니다. 이는 방정식(2)의 해를 모두 구하면 방정식 (1)의 해가 포함되어 있음을 의미합니다.
변형된 방정식을 풀이하는 것은 주어진 방정식과 다른 방정식을 풀이하는 것입니다. 변형된 방정식은 주어진 방정식의 해로 부적절한 해를 가질 수 있으므로 검토 과정이 필요합니다. 하지만 중학교 수학에서는 크게 문제가 되지 않습니다.
- $\bbox[#ffff00]{\text{주어진 방정식}}\xrightarrow[\text{등식의 성질}]{}\bbox[#dcff8c]{\text{변형된 방정식}}$
- $\bbox[#dcff8c]{\text{변형된 방정식}}$ 풀이 : 해를 모두 구한다
- 해를 주어진 방정식에 대입하여 참인지 확인
세 번째 과정은 고등학교 수식을 다루는 과정에 응용되기 때문에 꼭 기억해 두길 바랍니다.
등식의 성질은 방정식을 변형하고 풀이하는 가장 기본적인 원리입니다. 양변에 같은 수나 식을 더하고 빼거나, 같은 수를 곱하고 나누는 과정을 반복하면 방정식을 점차 간단한 형태로 바꿀 수 있으며, 우리가 흔히 사용하는 이항 역시 이러한 등식의 성질을 간단하게 표현한 방법입니다. 따라서 이항의 부호 변화만 암기하기보다는 어떤 등식의 성질이 적용되었는지를 함께 이해하는 것이 중요합니다. 또한 방정식을 변형하여 얻은 해는 필요한 경우 처음 주어진 방정식에 다시 대입하여 성립하는지 확인하는 습관을 갖는다면 이후 고등학교에서 복잡한 방정식과 수식을 다룰 때에도 도움이 됩니다.