4점 문제
14. 숫자 $1$이 적혀 있는 공 $10$개, 숫자 $2$가 적혀 있는 공 $20$개, 숫자 $3$이 적혀 있는 공 $30$개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 $10$번 반복하여 확인한 $10$개의 수의 합을 확률변수 $Y$라 하자. 다음은 확률변수 $Y$의 평균 $\mathrm{E}(Y)$와 분산 $\mathrm{V}(Y)$를 구하는 과정이다.
주머니에 들어 있는 $60$개의 공을 모집단으로 하자.
이 모집단에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 이 공에
적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하면 $X$의 확률분포,
즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&1&2&3&\text{합계}\\\hline\mathrm{P}(X=x)&\dfrac16&\dfrac13&\dfrac12&1\\\hline\end{array}$
따라서 모평균 $m$과 모분산 $\sigma^2$은
$m=\mathrm{E}(X)=\dfrac73,\quad \sigma^2=\mathrm{V}(X)=\boxed{\ (가) \ }$
이다.
모집단에서 크기가 $10$인 표본을 임의추출하여 구한
표본평균을 $\overline X$라 하면
$\mathrm{E}(\overline X)=\dfrac73,\quad \mathrm{V}(\overline X)=\boxed{\ (나) \ }$
이다.
주머니에서 $n$번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $X_n$이라 하면
$Y=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{10}X_n=10\overline X$
이므로
$\mathrm{E}(Y)=\dfrac{70}{3},\quad \mathrm{V}(Y)=\boxed{\ (다) \ }$
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때, $p+q+r$의 값은? [4점]
① $\dfrac{31}{6}$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $\dfrac{35}{6}$ ④ $\dfrac{37}{6}$ ⑤ $\dfrac{13}{2}$
풀이
모평균은 $m=\mathrm{E}(X)=1\times\dfrac16+2\times\dfrac13+3\times\dfrac12=\dfrac73$이다.
모분산은
$\begin{aligned}\sigma^2=\mathrm{V}(X)&=\mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^2\\&=1^2\times\dfrac16+2^2\times\dfrac13+3^2\times\dfrac12-\dfrac{49}{9}\\&=6-\dfrac{49}{9}=\dfrac59\end{aligned}$
따라서 (가)는 $p=\dfrac59$이다.
표본의 크기가 $10$이고 복원추출하므로 표본평균의 분산은
$\mathrm{V}(\overline X)=\dfrac{\mathrm{V}(X)}{10}=\dfrac59\times\dfrac1{10}=\dfrac1{18}$
따라서 (나)는 $q=\dfrac1{18}$이다.
$Y=10\overline X$이므로
$\begin{aligned}\mathrm{V}(Y)&=\mathrm{V}(10\overline X)\\&=100\mathrm{V}(\overline X)\\&=100\times\dfrac1{18}=\dfrac{50}{9}\end{aligned}$
따라서 (다)는 $r=\dfrac{50}{9}$이다.
결국 $p+q+r=\dfrac59+\dfrac1{18}+\dfrac{50}{9}=\dfrac{37}{6}$이다.
정답: ④ $\dfrac{37}{6}$
15. 지수함수 $y=a^x$ ($a>1$)의 그래프와 직선 $y=\sqrt3$이 만나는 점을 $\mathrm{A}$라 하자. 점 $\mathrm{B}(4,0)$에 대하여 직선 $\mathrm{OA}$와 직선 $\mathrm{AB}$가 서로 수직이 되도록 하는 모든 $a$의 값의 곱은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
① $3^{\frac13}$ ② $3^{\frac23}$ ③ $3$ ④ $3^{\frac43}$ ⑤ $3^{\frac53}$
풀이
$a^x=\sqrt3$에서 $x=\log_a\sqrt3$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(\log_a\sqrt3,\sqrt3)$이다.
직선 $\mathrm{OA}$의 기울기는 $\dfrac{\sqrt3}{\log_a\sqrt3}$, 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\dfrac{\sqrt3}{\log_a\sqrt3-4}$이다.
두 직선은 수직이므로 두 기울기의 곱이 $-1$이다.
$\dfrac{\sqrt3}{\log_a\sqrt3}\times\dfrac{\sqrt3}{\log_a\sqrt3-4}=-1$
$\begin{aligned}(\log_a\sqrt3)^2-4\log_a\sqrt3+3&=0\\(\log_a\sqrt3-1)(\log_a\sqrt3-3)&=0\end{aligned}$
따라서 $\log_a\sqrt3=1$ 또는 $\log_a\sqrt3=3$이고, $a=3^{\frac12}$ 또는 $a=3^{\frac16}$이다.
구하는 모든 $a$의 값의 곱은 $3^{\frac12}\times3^{\frac16}=3^{\frac23}$이다.
정답: ② $3^{\frac23}$
16. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수는? [4점]
(가) $a+b+c-d=9$ (나) $d\le4$이고 $c\ge d$이다.
① $265$ ② $270$ ③ $275$ ④ $280$ ⑤ $285$
풀이
조건 (가)에서 $a+b+c=9+d$이고, 조건 (나)에서 $0\le d\le4$, $c\ge d$이다. 따라서 $d$의 값에 따라 다섯 경우로 나눈다.
(ⅰ) $d=0$일 때, $a+b+c=9$, $c\ge0$이므로
${}_3\mathrm{H}_9={}_{11}\mathrm{C}_9={}_{11}\mathrm{C}_2=55$이다.
(ⅱ) $d=1$일 때, $a+b+c=10$, $c\ge1$이다. $c=c'+1$ ($c'\ge0$)로 놓으면 $a+b+c'=9$이므로
${}_3\mathrm{H}_9={}_{11}\mathrm{C}_9=55$이다.
(ⅲ) $d=2$일 때, $a+b+c=11$, $c\ge2$이다. $c=c'+2$ ($c'\ge0$)로 놓으면 $a+b+c'=9$이므로
${}_3\mathrm{H}_9={}_{11}\mathrm{C}_9=55$이다.
(ⅳ) $d=3$일 때, $a+b+c=12$, $c\ge3$이다. $c=c'+3$ ($c'\ge0$)로 놓으면 $a+b+c'=9$이므로
${}_3\mathrm{H}_9={}_{11}\mathrm{C}_9=55$이다.
(ⅴ) $d=4$일 때, $a+b+c=13$, $c\ge4$이다. $c=c'+4$ ($c'\ge0$)로 놓으면 $a+b+c'=9$이므로
${}_3\mathrm{H}_9={}_{11}\mathrm{C}_9=55$이다.
다섯 경우는 서로 배반이므로 전체 개수는 $55\times5=275$이다.
정답: ③ $275$
17. 평면에 한 변의 길이가 $10$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. $\overline{PB}-\overline{PC}=2$를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{PA}$의 길이가 최소일 때, 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는? [4점]
① $20\sqrt3$ ② $21\sqrt3$ ③ $22\sqrt3$ ④ $23\sqrt3$ ⑤ $24\sqrt3$
풀이
선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하고, 직선 $\mathrm{BC}$를 $x$축, 직선 $\mathrm{OA}$를 $y$축으로 하는 좌표평면을 생각하자.
$\mathrm{B}(-5,0)$, $\mathrm{C}(5,0)$, $\mathrm{A}(0,5\sqrt3)$이다.
$\overline{PB}-\overline{PC}=2$이므로 점 $\mathrm{P}$는 두 초점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 가지며 주축의 길이가 $2$인 쌍곡선 위의 점이다.
이 쌍곡선의 방정식을 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$이라 하면 $2a=2$에서 $a=1$이고, $25=a^2+b^2$에서 $b^2=24$이다.
따라서 쌍곡선은 $x^2-\dfrac{y^2}{24}=1$이다.
$\mathrm{P}(p,q)$라 하면 $p^2=1+\dfrac{q^2}{24}$이므로
$\begin{aligned}\overline{PA}^{\,2}&=p^2+(q-5\sqrt3)^2\\&=1+\dfrac{q^2}{24}+(q-5\sqrt3)^2\end{aligned}$
$\dfrac{d}{dq}\left(\overline{PA}^{\,2}\right)=\dfrac{q}{12}+2(q-5\sqrt3)=\dfrac{25q}{12}-10\sqrt3$이다.
이 도함수가 $0$이 되는 $q=\dfrac{24\sqrt3}{5}$에서 $\overline{PA}^{\,2}$는 최소가 된다. 이때 이계도함수는 $\dfrac{25}{12}>0$이다.
따라서 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 $\dfrac12\times10\times\dfrac{24\sqrt3}{5}=24\sqrt3$이다.
정답: ⑤ $24\sqrt3$
18. 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N}(10,2^2)$, 확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N}(m,2^2)$을 따르고, 확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$와 $g(x)$이다.
$f(12)\le g(20)$
$\begin{array}{|c|c|}\hline z&\mathrm{P}(0\le Z\le z)\\ \hline 0.5&0.1915\\ \hline 1.0&0.3413\\ \hline 1.5&0.4332\\ \hline 2.0&0.4772\\ \hline \end{array}$
을 만족시키는 $m$에 대하여 $\mathrm{P}(21\le Y\le24)$의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]
① $0.5328$ ② $0.6247$ ③ $0.7745$ ④ $0.8185$ ⑤ $0.9104$
풀이
두 정규분포의 표준편차는 모두 $2$이므로 밀도함수의 비교 $f(12)\le g(20)$은
$\exp\left(-\dfrac{(12-10)^2}{8}\right)\le\exp\left(-\dfrac{(20-m)^2}{8}\right)$와 같다.
따라서 $(20-m)^2\le4$, 즉 $18\le m\le22$이다.
구간 $[21,24]$에서 확률이 가장 커지는 평균은 구간 중앙인 $22.5$이지만, $m\le22$이므로 허용 범위에서는 $m=22$일 때 최대이다.
$Z=\dfrac{Y-22}{2}$라 놓으면 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$을 따른다.
$\begin{aligned}\mathrm{P}(21\le Y\le24)&=\mathrm{P}\left(-0.5\le Z\le1\right)\\&=\mathrm{P}(0\le Z\le0.5)+\mathrm{P}(0\le Z\le1)\\&=0.1915+0.3413\\&=0.5328\end{aligned}$
정답: ① $0.5328$
19. 한 원 위에 있는 서로 다른 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $|\overrightarrow{AD}|^2$의 값은? [4점]
(가) $|\overrightarrow{AB}|=8$, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$
(나) $\overrightarrow{AD}=\dfrac12\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$
① $32$ ② $34$ ③ $36$ ④ $38$ ⑤ $40$
풀이
조건 (가)에서 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$이므로 $\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}$이다. 원주각 $\angle ACB=90^\circ$이므로 선분 $\mathrm{AB}$는 원의 지름이다.
원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 반지름은 $4$이고, 조건 (나)에서
$\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\dfrac12\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{CB}\end{aligned}$
한편 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}$이므로 $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{CB}$이다. $|\overrightarrow{OD}|=4$이므로 $|\overrightarrow{CB}|=2$이고 두 벡터는 평행하다.
$\angle ABC=\theta$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\cos\theta=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac28=\dfrac14$이다.
또한 $\overrightarrow{OD}\parallel\overrightarrow{CB}$이므로 $\angle AOD=\pi-\theta$이다.
$\begin{aligned}|\overrightarrow{AD}|^2&=|\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}|^2\\&=|\overrightarrow{OD}|^2+|\overrightarrow{OA}|^2-2|\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{OA}|\cos(\pi-\theta)\\&=4^2+4^2+2\times4\times4\times\dfrac14\\&=40\end{aligned}$
정답: ⑤ $40$
20. 한 개의 동전을 $7$번 던질 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은? [4점]
(가) 앞면이 $3$번 이상 나온다. (나) 앞면이 연속해서 나오는 경우가 있다.
① $\dfrac{11}{16}$ ② $\dfrac{23}{32}$ ③ $\dfrac34$ ④ $\dfrac{25}{32}$ ⑤ $\dfrac{13}{16}$
풀이
앞면을 $\mathrm{H}$, 뒷면을 $\mathrm{T}$라 하고, 앞면의 횟수에 따라 경우를 나눈다. 전체 $7$회의 동전 던지기에서 가능한 결과는 $2^7=128$가지이고 각각 같은 확률이다.
(ⅰ) 앞면이 $3$번 나올 때, 전체 나열은 ${}_7\mathrm{C}_3=35$가지이다. 앞면끼리 이웃하지 않는 나열은 뒷면 $4$개 사이와 양 끝의 $5$자리에서 $3$개를 선택하는 ${}_5\mathrm{C}_3=10$가지이다.
따라서 조건 (나)를 만족하는 나열은 $35-10=25$가지이다.
(ⅱ) 앞면이 $4$번 나올 때, 전체 나열은 ${}_7\mathrm{C}_4=35$가지이다. 앞면끼리 이웃하지 않는 나열은 $\mathrm{HTHTHTH}$의 한 가지뿐이다.
따라서 조건 (나)를 만족하는 나열은 $35-1=34$가지이다.
(ⅲ) 앞면이 $5$번 이상 나올 때는 앞면이 연속해서 나오는 경우가 반드시 존재한다. 이때의 나열 수는
${}_7\mathrm{C}_5+{}_7\mathrm{C}_6+{}_7\mathrm{C}_7=21+7+1=29$이다.
그러므로 구하는 확률은 $\dfrac{25+34+29}{2^7}=\dfrac{88}{128}=\dfrac{11}{16}$이다.
정답: ① $\dfrac{11}{16}$
21. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $(t,e^t)$에서의 접선의 방정식을 $y=f(x)$라 할 때, 함수 $y=|f(x)+k-\ln x|$가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 $g(t)$라 하자. 두 실수 $a$, $b$ ($a<b$)에 대하여 $\displaystyle\int\nolimits_a^b g(t)\,dt=m$이라 할 때, 〈보기〉에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
〈보 기〉
ㄱ. $m<0$이 되도록 하는 두 실수 $a$, $b$ ($a<b$)가 존재한다.
ㄴ. 실수 $c$에 대하여 $g(c)=0$이면 $g(-c)=0$이다.
ㄷ. $a=\alpha$, $b=\beta$ ($\alpha<\beta$)일 때 $m$의 값이 최소이면
$\dfrac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)}<-e^2$이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이
곡선 $y=e^x$의 점 $(t,e^t)$에서의 접선은
$f(x)=e^t(x-t)+e^t=e^t x+(1-t)e^t$이다.
$h(x)=f(x)+k=e^t x+(1-t)e^t+k$라 하면, $|h(x)-\ln x|$가 $x>0$ 전체에서 미분가능하려면 $h(x)-\ln x$가 부호를 바꾸며 $0$이 되는 단순근을 가져서는 안 된다.
$h(x)-\ln x$는 이계도함수가 $\dfrac1{x^2}>0$인 엄격한 볼록함수이며, $x\to0+$와 $x\to\infty$에서 모두 $+\infty$로 발산한다. 따라서 가능한 $k$의 최솟값은 두 그래프 $y=h(x)$와 $y=\ln x$가 접할 때의 값이다.
두 곡선이 접하는 점의 $x$좌표를 $p$라 하면
$e^t p+(1-t)e^t+k=\ln p$ ㉠
또한 두 함수의 기울기가 같으므로 $e^t=\dfrac1p$ ㉡, $\ln p=-t$ ㉢이다.
㉠에 대입하면 $1+(1-t)e^t+k=-t$이므로
$g(t)=k=(t-1)e^t-t-1$이다.
ㄱ. $g'(t)=te^t-1$, $g'{}'(t)=(t+1)e^t$이다. $te^t=1$인 양수 $q$가 유일하게 존재하고, $g'(t)<0$ ($t<q$), $g'(t)>0$ ($t>q$)이다.
$\begin{aligned}g(q)&=(q-1)e^q-q-1\\&=-e^q-q<0\end{aligned}$
이에 따라 $g(t)<0$인 구간을 적절하게 선택하면 $m=\displaystyle\int\nolimits_a^b g(t)\,dt<0$이므로 ㄱ은 참이다.
ㄴ. $g(c)=0$이면 $(c-1)e^c=c+1$이다. 이 등식에서 $c\ne1$이고 $e^c=\dfrac{c+1}{c-1}$이다.
$\begin{aligned}g(-c)&=(-c-1)e^{-c}+c-1\\&=-(c+1)\dfrac{c-1}{c+1}+c-1\\&=0\end{aligned}$
따라서 ㄴ도 참이다. 실제로 $g(-t)=e^{-t}g(t)$이므로 근은 원점에 대하여 대칭으로 나타난다.
ㄷ. $g(0)=-2<0$, $g(t)\to+\infty$ ($t\to\pm\infty$)이고 위에서 구한 증감 성질에 의해 두 근은 $-c$, $c$ ($c>0$)뿐이다. $g(t)<0$인 구간이 $(-c,c)$이므로 $\displaystyle\int\nolimits_a^b g(t)\,dt$가 최소가 되는 경우는 $\alpha=-c$, $\beta=c$이다.
또한 $g(1)=-2<0$이므로 $c>1$이다. $g'(t)=te^t-1$에서
$\begin{aligned}\dfrac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)}&=\dfrac{1+g'(c)}{1+g'(-c)}\\&=\dfrac{ce^c}{-ce^{-c}}\\&=-e^{2c}<-e^2\end{aligned}$
따라서 ㄷ도 참이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
정답: ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ