실수는 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있고, 두 실수의 대소도 비교할 수 있습니다. 하지만 실수를 아무리 확장하더라도 실수의 범위에서는 $x^2=-1$과 같은 방정식의 해를 나타낼 수 없습니다. 이러한 한계를 해결하기 위해 제곱하여 $-1$이 되는 새로운 수인 허수단위 $i$를 도입합니다. 이번 글에서는 허수단위 $i$가 필요한 이유와 정의, 기본적인 계산 방법을 살펴보고, $x^2=-1$의 해를 어떻게 표현하는지와 허수가 수직선 위의 수가 아닌 이유까지 차례로 정리해 보겠습니다.
허수와 허수단위
우리는 수를 학습하면서 필요에 따라 수의 범위를 계속 확장해 왔습니다. 유리수만으로는 $x^=2$인 수를 설명할 수 없어 순환하지 않는 무한소수인 무리수를 도입했고, $\sqrt{2}$와 같은 새로운 수를 받아들이고, 유리수와 무리수를 모두 포함하는 실수의 범위까지 수의 체계를 확장했습니다.
이제 비슷한 이유로 실수의 범위를 한 번 더 확장해 보려고 합니다. 실수는 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있지만, 어떤 실수를 제곱하더라도 그 결과는 항상 $0$보다 크거나 같으므로 $x^2=-1$과 같은 방정식은 실수의 범위에서는 해를 가질 수 없습니다. 따라서 이러한 이차방정식의 해까지 포함하는 수까지 확장해 보도록하겠습니다.
제곱하여 $-1$이 되는 새로운 수만 정의하면, 이를 이용하면 실수의 범위에서는 나타낼 수 없었던 이차방정식의 해를 모두 표현할 수 있습니다. 이렇게 실수(real number)와 허수(imaginary number)를 함께 포함하도록 확장한 수의 체계를 복소수라고 합니다.
허수단위 $i$
중학교 제곱근을 음수로 확장해 적용하면, 제곱하여 $-1$이 되는 새로운 수는 -1의 제곱근라 할 수 있고, 기호로는 $\pm \sqrt{-1}$로 나타낼 수 있습니다. 둘 중 양의 부호를 갖는 $\sqrt{-1}$을 허수 단위라고하고 기호로 $i$로 나타내기로 약속합니다.
- $-1$의 제곱근: $x^2=-1$을 만족하는 $x$값
- 기호: $\pm \sqrt{-1}$
- 허수단위: $i=\sqrt{-1}$
허수단위 $i$는 imaginary unit의 첫 글자입니다.
$i$의 연산
허수단위 $i$도 제곱근($\sqrt{-1}$)처럼 생각하여 실수에서 사용하던 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 계산법을 그대로 적용합니다. 다만 계산 과정에서 $i^2=-1$을 이용해 정리합니다.
- $i\times i=i^2=-1$이고, $(2+i)+(3-2i)=5-i$
방정식 $x^2=-1$의 근을 허수단위를 이용해 표현해 봅시다.
설명
앞서 설명했듯이 임의의 실수를 제곱하면 항상 $0$ 또는 양수가 되므로 이차방정식 $x^2=-1$의 해를 실수의 범위에서는 구할 수 없지만 허수단위 ($i^2=-1$, $i=\sqrt{-1}$)를 이용하면 해를 표현할 수 있게 됩니다.
- $i^2=-1$, $(-i)^2=i^2=-1$
방정식 $x^2=-1$의 근은 $x=\sqrt{-1}=i$ 또는 $x=-\sqrt{-1}=-i$이다.
i의 거듭제곱
$i^2=-1$임을 이용하여 $i$, $i^2$, $i^3$, $i^4$, $\cdots$의 값을 차례로 구하면 $i$, $-1$, $-i$, $1$, $cdots$이 반복되어 나타납니다. 따라서 $i$와 $-i$ 거듭제곱은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $i^{4n+1}=i$, $i^{4n+2}=-1$, $i^{4n+3}=-i$, $i^{4n+4}=1$ (단, $n$은 음이 아닌 정수)
- $(-i)^{4n+1}=-i$, $(-i)^{4n+2}=-1$,
$(-i)^{4n+3}=i$, $(-i)^{4n+4}=1$ (단, $n$은 음이 아닌 정수)
위의 사실은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $i^n$와 $(-i)^n$의 값은 $n$을 $4$로 나누었을 때의 나머지의 거듭제곱과 같다.
간단한 예를 통해 정리해 봅시다.
- $i^{98}=i^{(4\times24+\bbox[#ffff00]{2})}=i^\bbox[#ffff00]{2}=-1$
- $i^{73}=i^{(4\times18+\bbox[#ffff00]{1}})=i^\bbox[#ffff00]{1}=i$
- $(-i)^{803}=(-i)^{(4\times200+\bbox[#ffff00]{3})}=(-i)^\bbox[#ffff00]{3}=i$
$i$의 거듭제곱은 네 번마다 같은 값이 반복되므로 지수가 큰 경우에도 지수를 $4$로 나눈 나머지를 이용하면 간단히 계산할 수 있습니다. 이제 허수단위 $i$를 이용하여 음수의 제곱근을 나타내는 방법과 그 계산 성질을 정리해 보겠습니다.
$i$는 수직선위에 있지 않다.
수직선 위의 수(실수)는 위치를 이용해 대소를 비교할 수 있습니다. 하지만 허수 $i$는 다음과 같은 이유로 대소를 비교할 수 없고, 따라서 수직선 위에 나타낼 수 없으며 실수가 아닙니다.
설명
만약 실수와 허수, 허수와 허수 사이에 대소를 비교할 수 있다고 하면 허수단위 $i$는 0과 비교할 때, $i>0$, $i=0$, $i<0$ 셋 중 하나를 만족하고, 부등식의 성질과 등식의 성질 또한 이 식에 잘 정의되어야 합니다.
- $i>0$이면 $i\times i>i\times0$이고, $-1>0$ (부등식의 성질 성립 안함)
- $i=0$이면 $i\times i=i\times0$이고, $-1=0$ (등식의 성질 성립 안함)
- $i<0$이면 $i\times i>i\times0$이고, $-1>0$ (부등식의 성질 성립 안함)
위의 결과로 부터 $i$는 양수도 아니고, 음수도 아니고, $0$이라고도 할 수 없습니다. 따라서 실수와 허수, 허수와 허수 사이에는 대소를 비교할 수 없습니다.
실수의 범위에서는 제곱하여 음수가 되는 수가 존재하지 않기 때문에 $x^2=-1$의 해를 나타낼 수 없습니다. 이를 해결하기 위해 $i^2=-1$을 만족하는 허수단위 $i$를 새롭게 정의하고, $x^2=-1$의 두 근을 $i$, $-i$로 나타낼 수 있게 되었습니다. 또한 $i$는 양수나 음수로 구분할 수 없고 실수와 같은 방식으로 대소를 비교할 수도 없으므로 수직선 위의 수가 아닙니다. 허수단위의 도입은 실수의 범위를 복소수로 확장하는 출발점이며, 이후 복소수의 정의와 연산을 이해하는 기초가 됩니다.