복소수는 실수와 허수를 함께 다루는 수이므로 계산 과정에서도 실수의 연산법칙을 기본으로 활용합니다. 특히 허수단위 $i$는 문자처럼 계산하되 $i^2=-1$이라는 성질을 이용해 식을 정리하는 것이 중요합니다복소수의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈의 계산 방법을 살펴본 다음, 분모의 실수화와 복소수에서도 성립하는 기본 연산법칙까지 차례로 정리해 보겠습니다.
복소수의 사칙 연산
복소수의 덧셈, 뺄셈은 허수단위 $i$를 제곱근처럼 생각하여 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다. 복소수의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개한 다음 $i^2=-1$임을 이용하여 계산하고, 복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 각각 곱하여 계산합니다.
- 켤레복소수: 허수부분의 부호를 바꾼 복소수
켤레복소수에 대한 내용은 길어지기 때문에 여기서는 연산에 집중하고, 따로 성질에서 한번에 정리하도록 하겠습니다.
$a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때,
- 덧셈: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
- 뺄셈: $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
- 곱셈: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
- 나눗셈: $\dfrac{a+bi}{c+di}$$=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$ (단, $c+di\ne0$)
복소수에서도 실수의 연산이 그대로 적용됩니다. 1~3까지는 $i$를 제곱근으로 생각하고 연산한 결과로 생각하면 바로 정리할 수 있습니다. 켤레복소수를 이용한 나눗셈에 대해서만 정리하고 넘어가도록 하겠습니다.
4. 설명 (분모의 실수화)
분모에 $i$가 있는 식은 켤레복소수를 곱하여 분모를 실수로 바꾸어 계산합니다.
- 분모에 $i$가 있으면 분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 각각 곱한다. (분모의 실수화)
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$임을 이용하여 분모를 실수로 만들어 계산한다.
- $(4-7i)+(3+2i)=(4+3)+(-7+2)i=7-5i$
- $(6+3i)-(7-5i)=(6-7)+(3+5)i=-1+8i$
- $(2-3i)(3+4i)=6+8i-9i-12i^2$ $=6+8i-9i+12=18-i$
- $\dfrac{1-2i}{2+3i}$$=\dfrac{(1-2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$$=\dfrac{2-3i-4i+6i^2}{2^2-(3i)^2}$$=\dfrac{2-3i-4i-6}{4+9}$$=\dfrac{-4-7i}{13}$$=-\dfrac{4}{13}-\dfrac{7}{13}i$
복소수의 사칙연산은 실수의 계산법을 바탕으로 하되, 곱셈과 나눗셈에서는 $i^2=-1$과 켤레복소수를 이용한다는 점이 핵심입니다. 이러한 연산에서도 실수에서 익힌 기본적인 연산법칙이 그대로 성립합니다.
복소수의 사칙연산에 대한 성질
실수의 경우와 마찬가지로 복소수의 사칙연산의 결과는 모두 복소수이다. 즉, 복소수 전체는 $0$으로 나누는 것을 제외하면 실수의 경우와 마찬가지로 복소수에서도 덧셈, 곱셈에 대하여 다음 성질이 성립한다.
세 복소수 $z_1$, $z_2$, $z_3$에 대하여
- 교환법칙: $z_1+z_2=z_2+z_1$, $z_1z_2=z_2z_1$
- 결합법칙: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$, $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$
- 분배법칙: $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$, $(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$
$z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$일 때 $z_1 z_2=z_2z_1$임을 보여 봅시다.
설명
- $z_1z_2=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=8-i$
- $z_2z_1=(1-2i)(2+3i)=2+3i-4i-6i^2=8-i$
따라서 $z_1z_2=z_2z_1$이 성립합니다.
⑵ $z_1=1+i$, $z_2=2-i$, $z_3=-2+2i$일 때 $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$임을 보여 봅시다.
설명
- $z_1(z_2+z_3)=(1+i)\{(2-i)+(-2+2i)\}=(1+i)\times i=i+i^2=-1+i$
- $z_1z_2+z_1z_3=(1+i)(2-i)+(1+i)(-2+2i)$ $=2-i+2i-i^2-2+2i-2i+2i^2$ $=-1+i$
따라서 $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$이 성립합니다.
복소수의 사칙연산은 실수의 계산법을 바탕으로 하며, 덧셈과 뺄셈에서는 실수부분과 허수부분을 각각 계산합니다. 곱셈에서는 분배법칙과 $i^2=-1$을 이용하고, 나눗셈에서는 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를 실수화합니다. 또한 복소수에서도 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 그대로 성립하므로 이러한 성질을 함께 익혀 두면 이후 복소수의 계산을 보다 체계적으로 이해할 수 있습니다.