원의 성질을 다루는 단원에서 자주 등장하는 정리 중 하나가 바로 할선정리입니다. 원 안팎에 있는 한 점에서 그은 두 직선이 원과 만나는 점들 사이에는 항상 일정한 곱셈 관계가 성립하는데, 이를 이용하면 복잡해 보이는 원과 직선의 교점 문제도 간단한 비례식만으로 해결할 수 있습니다. 이번 글에서는 할선정리가 방멱의 정리와 어떤 관계에 있는지 살펴보고, 점 $P$의 위치에 따라 달라지는 세 가지 경우를 하나씩 증명과 함께 정리해 보겠습니다.
할선정리
할선정리(방멱의 정리)는 한 점 $P$를 지나는 두 직선 $l,\ m$과 원이 만나는 점들에 대한 방멱이 일정하다는 정리입니다. 설명의 편의를 위해 방멱에 대해 정리하고 증명에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
방멱의 정의
한 점 $P$를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 $A,\ B$라고 할 때 방멱의 정의는 다음과 같습니다.
- $\overline{PA}\times\overline{PB}$를 방멱이라고 한다.
- $A$에서 접하는 경우 방멱은 $\overline{PA}^2$이다.
할선정리
한 점 $P$를 지나는 두 직선이 원과 만나는 점을 $A,\ B$와 $C,\ D$라고 하면 다음 세 가지 유형에 대해 생각할 수 있습니다.
- 점 $P$가 원 내부에 있을 때 $\cdots (1)$
- 점 $P$가 원 외부에 있고 두 할선에 대해 $\cdots (2)$
- 점 $P$가 원 외부에 있고 할선과 접선에 대해 $\cdots (3)$
이때 점 $P$에서 이 점들에 이르는 거리를 $\overline{PA}=a$, $\overline{PB}=b$, $\overline{PC}=c$, $\overline{PD}=d$라고 하면 세 유형에서 점 $P$의 방멱이 각각 일정한 값을 갖습니다.
- $ab=cd$
이를 할선정리(방멱의 정리)라고 합니다.
1. $P$가 원 내부에 있을 때
원 내부에 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선이 원과 만나는 두 점을 각각 $A,B$와 $C,D$라 하면 다음이 성립합니다.
- $\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- 즉 $ab=cd$
증명
$\overline{AC}$, $\overline{BD}$로 만들어진 두 삼각형은 $\triangle{PAC} \sm \triangle{PDB}$ 다음과 같은 이유로 AA 닮음입니다.
- $\angle{CPA}=\angle BPD$ 맞꼭지각
- $\angle ACD=\angle ABD$ $\overparen{AD}$의 원주각
따라서 $a:c=d:b$이고 $ad=bc$가 성립합니다.
2. $P$가 원 외부에 있을 때 두 할선
원 밖의 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선과 원과 만나는 두 점을 각각 $A,B$와 $C,D$라 하면 다음이 성립합니다.
- $\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- 즉 $ab=cd$
증명
$\overline{AC}$, $\overline{BD}$로 만들어진 $\square{ABDC}$는 원에 내접하므로 내대각이 같고, 다음과 같은 이유로 두 삼각형은 $\triangle{PAC} \sm \triangle{PDB}$ AA 닮음 입니다.
- $\angle P$ 공통
- $\angle{PAC}=\angle{CDB}$ (내접하는 사각형)
따라서 $a:c=d:b$ 이고 $ab=cd$가 성립합니다.
3. $P$가 원 외부에 있을 때 할선과 접선
원 밖의 한 점 $P$를 지나는 서로 다른 두 직선 대하여 한 직선은 원과 한 점 $A$에서 접하고 나머지 직선은 원과 서로 다른 두 점 $C,\ D$에서 만날 때 다음이 성립합니다.
- $\overline{PA}^2=\overline{PC}\times\overline{PD}$
- 즉 $a^2=bc$
증명
$\overline{AC}$, $\overline{AD}$로 만들어진 두 삼각형은 다음과 같은 이유로 $\triangle{PAC} \sm \triangle{PDA}$ AA 닮음이 됩니다.
- $\angle P$ 공통
- $\angle{CAP}=\angle{ADP}$ (접현각)
따라서 $a:c=d:a$ 이고 $a^2=cd$가 성립합니다.
지금까지 점 $P$의 위치와 두 직선의 형태에 따라 할선정리(방멱의 정리)가 어떻게 적용되는지 세 가지 경우로 나누어 살펴보았습니다. 점이 원 내부에 있든 외부에 있든, 또 두 직선이 할선이든 접선을 포함하든 관계없이 원과 만나는 두 점까지의 거리의 곱은 항상 일정하다는 사실이 핵심입니다. 이 성질은 원과 직선이 함께 등장하는 다양한 도형 문제에서 미지의 길이를 구하는 강력한 도구로 활용되니, 각 경우의 닮음 증명 과정을 직접 손으로 따라 그려보며 익혀두면 좋겠습니다.