다항식의 곱셈

다항식의 곱셈은 단항식에서 배운 중학교에서 배운 지수법칙(자연수)과 분배법칙을 바탕으로 계산합니다. 먼저 지수법칙을 정리한 뒤, 이를 이용해 다항식을 전개하는 방법과 곱셈에서 성립하는 여러 성질을 차례로 살펴보겠습니다.

일반적으로 단항식과 단항식의 곱셈은 다음의 지수법칙을 이용하여 간단히 할 수 있습니다. 지수법칙에 대한 증명은 중학교 과정에서 자세히 다루었으므로 바로 정리만 빠르게 하고 넘어가도록 하겠습니다.

$a, b$는 실수, $m, n$은 자연수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{mn}$
$(ab)^n=a^n b^n$
$a^m\div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=\begin{cases}a^{m-n} & (m>n\text{일 때})\\1 & (m=n\text{일 때})\\\dfrac{1}{a^{n-m}} & (m<n\text{일 때})\end{cases}$ (단, $a\ne0$)
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ (단, $b\ne0$)

지수법칙을 적용하면 다음과 같이 연산할 수 있습니다.

$(-xy^2)^3\times(-3x^2)=-x^3y^{2\times3}\times(-3x^2)=-x^3y^6\times(-3x^2)=3x^{3+2}y^6=3x^5y^6$

지수법칙을 이용하면 단항식끼리의 곱을 간단하게 정리할 수 있습니다. 이제 이 원리를 분배법칙과 함께 사용하여 다항식의 곱셈을 전개하는 방법을 확인해 보겠습니다.

괄호가 있는 다항식의 경우 분배법칙과 지수법칙을 이용하여 식을 전개한 다음 동류항끼리 모아서 간단히 정리합니다.

다음식을 전개하여라.

풀이

$(x+1)(x^2+2x+3)$$=x^3+2x^2+3x+x^2+2x+3$$=x^3+3x^2+5x+3$
$(x^2-3xy+y)(2x-3y)$$=2x^3-3x^2y-6x^2y+9xy^2+2xy-3y^2$$=2x^3-9x^2y+9xy^2+2xy-3y^2$

다항식의 곱셈을 전개할 때에는 각 항에 빠짐없이 분배하고, 같은 문자와 같은 차수를 가진 항끼리 모아 정리하는 것이 중요합니다. 마지막으로 덧셈과 곱셈에서 성립하는 연산법칙을 정리해 보겠습니다.

다항식의 덧셈과 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

세 다항식 $A, B, C$에 대하여

▶ 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하므로 $(AB)C$와 $A(BC)$는 $ABC$와 같이 괄호를 사용하지 않고 나타낼 수 있습니다.

따라서 나눗셈과 뺼셈이 포함된 복잡한 식의 연산에서는 뺄셈과 나눗셈을 각각 덧셈과 곱셈으로 변형하여 위의 법칙을 적용하는 것이 식을 정리하는데 유리합니다.

다항식의 곱셈은 지수법칙으로 단항식의 곱을 정리하고, 분배법칙으로 각 항을 전개한 뒤 동류항을 모아 정리하는 과정이 핵심입니다. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙의 성질까지 함께 익혀 두면 이후 곱셈 공식과 다항식 계산을 보다 효율적으로 이해할 수 있습니다.