중학교 3학년 수학의 원과 직선 단원을 공부하다 보면 반드시 만나게 되는 개념이 바로 원과 접선의 길이와 각도입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 접선을 그으면 항상 두 개의 접선을 그을 수 있는데, 이 두 접선의 길이 사이에는 아주 간단하면서도 유용한 성질이 숨어 있습니다. 이번 글에서는 원의 접선의 길이가 같아지는 이유를 삼각형의 합동을 이용해 증명해 보고, 실제 문제에 적용하는 방법까지 차근차근 살펴보겠습니다.
원과 접선의 길이
원 O 밖의 한 점 P에서 이 원에 그을 수 있는 접선은 2개입니다. 이 두 접선의 접점을 각각 A, B라 할 때, 점 P에서 접점까지의 거리, 즉 $\overline{PA}$, $\overline{PB}$의 길이를 점 P에서 원 O에 그은 접선의 길이라 합니다.
참고
위의 그림은 원의 중심에서 접점까지 반지름은 접선과 수직으로 만나는 것으로 표현되어 있습니다. 확실하게 수직으로 만날까?에 대한 답은 직선사이의 거리와 원과 접선을 통해 정리하는것이 정확합니다.
점과 직선사이의 거리
점 $P$와 직선 $l$ 사이의 거리는 다음과 같이 정의 합니다.
- $P$와 직선 $l$ 사이의 거리: 점 $P$에서 직선 $l$ 위에 있는 임의의 점 까지 최단거리
$A$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $H$라고 할 때 점 $A$에서 $l$ 사이의 거리 즉 최단거리에 대해 다음이 성립합니다.
- 점 $A$에서 $l$ 사이의 거리, 즉 최단거리는 $\overline{AH}$
증명
직각삼각형의 빗변은 항상 나머지 변보다 길기 때문에 $\overline{AH} \leq \overline{AP}$이고 따라서 $\overline{AH}$가 최단거리가 됩니다.
점과 직선사이의 거리를 통해 발견한 사실을 원과 접선에 적용하여 아래와 같은 사실에 대해 정리해 봅시다.
원과 접선
원과 직선사이의 위치관계는 만나지 않거나 두 점에서 만나거나 한 점에서 만나는 경우가 있습니다. 한 점에서 만나는 경우를 다음과 같이 정의합니다.
- 원과 직선이 접한다: 원과 직선이 한 점에서 만난다.
이 때 만나는 점을 접점이라고 하고 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.
직선 $l$이 원 $O$와 한 점 A에서 만날 때 다음이 성립합니다.
- $l \perp \overline{OP}$
증명
$l$ 위의 점 $P$에 대하여 $\overline{OP}$의 길이는 항상 다음을 만족합니다.
- (반지름) $\geq \overline{OP}$
따라서 점$O$에서 직선 $l$까지의 최단거리는 반지름의 길이 즉 $\overline{OA}$이고 이는 점과 직선사이의 최단거리 이므로 다음이 성립합니다.
- $A$: $O$에서 $l$에 내린 수선의 발
따라서 $\angle OAP= 90^˚$입니다.
원의 접선의 길이의 성질
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
$\overline{PA}=\overline{PB}$
증명
원 O 밖의 한 점 P에서 이 원에 그은 두 접선의 접점을 $A,\ B$라고 하면 다음과 같은 이유로 $\triangle PAO \equiv \triangle PBO$ RHS 합동입니다.
- R: $\angle PAO= \angle PBO=90^˚$
- H: $\overline{OP}$는 공통
- S: $\overline{OA}=\overline{OB}$(반지름)이
따라서 $\overline{PA}=\overline{PB}$입니다.
예제
$\overline{PA}$, $\overline{PB}$는 원 O의 접선이고 두 점 A, B는 각각 그 접점일 때, $\overline{PB}$의 길이를 구해라.
풀이
$\overline{PO}=8+5=13$(cm)이고 $\angle PAO=90^\circ$이므로 직각삼각형 POA에서
$\overline{PA}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$(cm)
따라서 원의 접선의 길이의 성질에 의하여 $\overline{PB}=\overline{PA}=12$cm이다.
지금까지 살펴본 것처럼 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같습니다. 이 성질을 알았다면, 이제는 이 두 접선이 만드는 각의 크기 사이에는 어떤 관계가 있는지도 함께 알아보겠습니다.
원과 접선의 각의 크기
원 O 밖의 한 점 P에 대하여 $\overline{PA}$, $\overline{PB}$는 원 O의 접선이고 두 점 A, B는 각각 그 접점일 때, 다음이 성립합니다.
- $\angle APB+\angle AOB=180^\circ$
- $\angle PAB=\angle PBA$
증명
- $\square APBO$의 내각의 크기의 합은 $360^\circ$이므로 $\angle APB+\angle AOB=180^\circ$입니다.
- $\triangle PBA$는 $\overline{PA}=\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\angle PAB=\angle PBA$입니다.
지금까지 원의 접선의 길이가 같다는 성질과, 그 접선들이 만드는 각 사이의 관계를 함께 살펴보았습니다. 두 성질 모두 삼각형의 합동과 이등변삼각형의 성질에서 출발한다는 공통점이 있으니, 도형을 직접 그려 가며 각 단계를 확인해 보면 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 관련 문제를 여러 번 풀어 보면서 개념을 완전히 내 것으로 만들어 보세요.