수학에서 우리는 수를 다루는 다양한 연산을 배워 왔습니다. 자연수에서 시작해 정수, 유리수로 수의 범위를 넓혀 오면서, 덧셈과 뺄셈은 항상 ‘같은 종류의 수끼리’ 모아야 한다는 원칙이 바탕에 깔려 있었습니다. 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 다항식의 덧셈과 뺄셈에서와 같이 $3x + 5x = 8x$처럼 동류항끼리만 합칠 수 있고, $3x + 5y$는 더 이상 간단히 줄일 수 없음을 적용하여 정리할 수 있습니다.
이번 단원에서 다루는 제곱근의 덧셈과 뺄셈도 이와 같은 원리 위에 서 있습니다. $\sqrt{2}$와 $\sqrt{3}$은 서로 다른 종류의 수이므로 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$은 하나의 수로 묶을 수 없습니다. 그러나 $3\sqrt{2}$와 $5\sqrt{2}$처럼 근호 안의 수가 같은 경우라면, 다항식에서 동류항을 모으듯 분배법칙을 적용하여 $(3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$와 같이 간결하게 계산할 수 있습니다.
핵심은 분배법칙입니다. 분배법칙은 유리수의 세계에서만 적용되는 것이 아니라, 무리수를 포함한 근호가 있는 식에서도 동일하게 성립합니다. 이 원리를 정확히 이해하면 근호가 포함된 복잡한 식도 체계적으로 계산할 수 있습니다. 나아가 괄호를 풀고, 근호 안의 제곱 인수를 꺼내고, 분모를 유리화하는 과정을 순서에 맞게 적용함으로써 근호를 포함한 혼합 계산까지 막힘없이 처리할 수 있게 됩니다.
지금부터 분배법칙을 중심으로 제곱근의 덧셈과 뺄셈 원리를 단계별로 살펴보겠습니다.
제곱근의 덧셈과 뺄셈
근호를 포함한 식에서도 유리수와 마찬가지로 분배법칙이 성립하고 분배법칙의 두 가지 패턴에 따라 연산을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 동류항끼리 묶는 분배법칙적용: $ax+bx \rightarrow (a+b)x$
- 식을 전개하는 분배법칙 적용: $(a+b)x \rightarrow ax+bx $
분배법칙을 이용한 제곱근 연산
제곱근의 덧셈과 뺄셈은 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 모아서 계산하는 것과 같이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산합니다.
$m$, $n$이 유리수이고 $a > 0$일 때
- 제곱근의 덧셈
- $m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}$ (분배법칙)
- 제곱근의 뺄셈
- $m\sqrt{a} – n\sqrt{a} = (m-n)\sqrt{a}$ (분배법칙)
(예시)
- $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
- $\sqrt{5} – 3\sqrt{5} = (1-3)\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$
참고
- 주의: $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$일 때, $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$, $\sqrt{a} – \sqrt{b} \neq \sqrt{a-b}$
- $\sqrt{a^2 b}$ 꼴이 포함된 경우는 $a\sqrt{b}$ 꼴로 근호 안을 가장 작은 자연수로 만든 후 계산
- $\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = (2+3)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
- $a\sqrt{b}$꼴로 고쳐서 근호 안의 수가 다르면 더 이상 간단히 할 수 없다.
식을 전개하는 분배법칙 적용
식을 전개하는 분배법칙을 적용하여 제곱근을 다음과 같이 연산할 수 있습니다.
- $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$에 대하여
- $ \sqrt{a}(\sqrt{b} \pm \sqrt{c})$$= \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \pm \sqrt{a}\cdot\sqrt{c}$$= \sqrt{ab} \pm \sqrt{ac}$ (중복된 부호는 동일한 순서)
- $(\sqrt{b} \pm \sqrt{c})\sqrt{a}$$= \sqrt{b}\cdot\sqrt{a} \pm \sqrt{c}\cdot\sqrt{a}$$= \sqrt{ab} \pm \sqrt{ac}$ (중복된 부호는 동일한 순서)
(예시)
$\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$$= \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot\sqrt{5}$$= \sqrt{6} + \sqrt{10}$
분배법칙을 이용한 분모의 유리화
- $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$일 때
$\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \times \sqrt{c}}{\sqrt{c} \times \sqrt{c}} = \dfrac{\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{c}$
근호를 포함한 식의 혼합 계산은 어떻게 하는가?
근호를 포함한 혼합 계산의 순서는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
- 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 근호 밖으로 꺼낸다.
- 분모에 무리수가 있으면 분모를 유리화한다.
- 곱셈, 나눗셈을 먼저 한 후 덧셈, 뺄셈을 한다.