일차식 활용 : 비율 백분율 소금물 농도 분수 비례식 거속시

수학 개념이 어렵게 느껴지는 이유 중 하나는 문제 상황을 식으로 바꾸는 과정이 익숙하지 않기 때문입니다. 특히, 비율과 백분율, 분수와 비례식, 일차식은 일상 속에서도 자주 접하지만 막상 문제로 만나면 어렵게 느껴지곤 하죠. 이 글에서는 문자를 이용해 관계식을 세우는 방법부터 일차식 활용과 관련된 비율과 백분율을 활용한 문제 해결, 소금물 농도 계산, 거리·속력·시간 공식까지 중학교 수학에서 꼭 알아야 할 내용을 하나씩 정리했습니다.

문자를 이용해 관계식 구하기

문자와 식에서는 문자를 이용해 수식을 나타내는 방법에 대해 학습한다. 구체적으로 문자는 아래와 같은 상황에서 사용할 수 있습니다.

• 수량 사이의 관계 표현
  예) $5\times \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}=10\to 5\times x=10$
• 일반적인 식 표현
  예) (일차식): $ax+b=0(a\ne 0,a,b:\text{유리수 or 실수})$

일차식으로 표현되는 상황에 대해 살펴봅시다.

비율과 백분율(%)

비율

비율은 어떤수에 대한 다른 수의 비의 값을 의미하고 수학적으로 다음과 같이 정의합니다.

• $b$에 대한 $a$의 비율 : ${\displaystyle \frac{a}{b}}$

자주 사용되는 비율은 ‘전체에 대한 부분의 비율’이고 다음과 같습니다.

• 전체에 대한 부분의 비율 : ${\displaystyle \frac{\text{부분}}{\text{전체}}}$
  • 1보다 작은 소수

백분율(%)

‘전체에 대한 부분의 비율’은 1보다 작은 소수로 다루기 힘들기 때문에 100을 곱해 정수로 표현하고 이를 ‘백불율’이라 합니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(백분율)}& =\text{(전체에 대한 부분의 비율)}\times 100\\ & ={\displaystyle \frac{\text{(부분)}}{\text{(전체)}}}\times 100& & & \end{array}$$

위의 비율과 백분율(%)사이의 관계를 정리하면 다음과 같습니다.

• $\text{비율}\stackrel{\times 100}{\to }\text{백분율 \%}$
• $\text{비율}\stackrel{÷100}{\leftarrow }\text{백분율 \%}$

농도(백분율로 표현)

농도는 일반적으로 백분율로 나타내고 다음과 같이 계산합니다.

\begin{flalign} \text{(농도)}&=\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}\times 100 \[1em]
\text{(농도)}&=\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}\times 100(%)

분수와 비례식 관계

분수식에 대해 다음이 성립합니다.

${\displaystyle \frac{B}{A}}={\displaystyle \frac{D}{C}}\stackrel{}{\to }B\times C=A\times D$

(단, $A\ne 0,C\ne 0$)

${\displaystyle \frac{B}{A}}={\displaystyle \frac{D}{C}}$꼴의 분수식은 대각곱으로 정리하여 $BC=AD$로 정리할 수 있음을 의미합니다.

[증명]

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{B}{A}}={\displaystyle \frac{D}{C}}\\ & \to B:A=D:C\\ & \to A\times D=B\times C\\ & & & \end{array}$$

비율을 적용한 일차식 활용

물건을 구매하는 상황

물건을 구매하는 상황을 수식으로 옮기는 방법에 대해 정리해 봅시다. 물건을 구매하는 상황에서도 백분율(할인율, %)이 적용되고 식은 다음과 같습니다.

• ($\text{물건가격}$)$=$(1개 가격)$\times$(물건개수)
• (거스름돈)$=$(지불금액)$-$($\text{물건가격}$)
• 정가 $x$원인 물건을 $a$% 할인할 때 판매가격
  $(\text{할인금액})=(\text{정가})\times (\text{할인율})=x\times {\displaystyle \frac{a}{100}}$
  $\begin{array}{rl}\therefore (\text{판매가격})& =(\text{정가})-(\text{할인금액})\\ & =x-x\times {\displaystyle \frac{a}{100}}\end{array}$

소금물의 농도

소금물의 농도를 구하는 과정에서도 백분율(% 소금물 농도)이 사용되고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

소금의 비율 : ${\displaystyle \frac{\text{(소금의 양)}}{\text{(소금물의 양)}}}={\displaystyle \frac{\text{(소금물 농도)}}{100}}\cdots (3)$

비례식을 이용하면 대각선으로 곱해 다음이 변형식을 유도할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}100\times & (\text{소금의 양})=\\ & (\text{소금물 농도})\times (\text{소금물의 양})& & & \end{array}$$

위 식을 이용하면 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

$(\text{소금의 양})=\text{(소금물의 양)}\times {\displaystyle \frac{\text{(소금물의 농도)}}{100}}$

일차식 활용 문제

다음으로 계산 결과가 일차식으로 유도되는 문제상황에 대해 정리해 보기로 합시다. 이 상황은 앞으로 학습할 다음 단원에서 사용되기 때문에 반드시 심화 학습까지 학습하는 것이 좋습니다.

• 중1 : 일차방정식
• 중2
  • 일차부등식
  • 일차연립방정식
  • 일차함수

거리 속력 시간

속력은 시간당 이동한 거리를 의미한다. 따라서 시간당 100km를 달리는 자동차는 2시간에 200km를 가고, 3시간에는 300km를 이동한다. 이를 통해 이동거리를 구하는 식을 정리 하면 다음과 같습니다.

• $(\text{거리})=(\text{속력})\times (\text{시간})$

이를 이용해 속력과 시간을 구하는 식을 분수로 표현하면 아래와 같다.

• $(\text{속력})=\text{(거리)}÷\text{(시간)}={\displaystyle \frac{\text{(거리)}}{\text{(시간)}}}$
• $(\text{시간})=\text{(거리)}÷\text{(속력)}={\displaystyle \frac{\text{(거리)}}{\text{(속력)}}}$

자릿수 표현

백의 자리 숫자가 $a$, 십의 자리 숫자가 $b$, 일의 자리 숫자가 $c$인 세 자리 자연수를 문자로 표현하면 다음과 같습니다.

• $a^{\text{백}}{b}^{\text{십}}{c}^{\text{일}}=100\times a+10\times b+1\times c$

연속하는 정수, 자연수

연속하는 자연수나 정수에 관한 문제는 다음과 같이 미지수를 정하는 것이 편리합니다.

• 연속하는 두 정수
  $x,x+1$ 또는 $x-1,x$
• 연속하는 세 정수
  $x,x+1,x+2$ 또는 $x-1,x,x+1$
• 연속하는 두 짝수(홀수)
  $x,x+2$ 또는 $x-2,x$
• 연속하는 세 짝수(홀수)
  $x,x+2,x+4$ 또는 $x-2,x,x+2$

음영으로 표시된 부분의 식을 주로 사용하고 특히 연두색으로 표시된 식을 사용하면 값이 $+;-$값이 상쇄되어 식을 간단히 정리 할 수 있음을 기억합시다.

단위 정리

수학과 과학에서 자주 사용하는 단위를 정리하고 학습을 마무리 하도록 하겠습니다.

	기본	킬로 $k$	밀리 $m$	마이크로 $\mu$	나노 $n$
질량	$g$	$1kg={10}^{3}g$	$1mg={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}g$	$1\mu g={\displaystyle \frac{1}{{10}^6}}g$	$1ng={\displaystyle \frac{1}{{10}^9}}g$
부피	$l$	$1kl={10}^{3}l$	$1ml={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}l$	$1\mu l={\displaystyle \frac{1}{{10}^6}}l$	$1ng={\displaystyle \frac{1}{{10}^9}}l$
거리	$m$	$1km={10}^{3}m$	$1mm={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}m$	$1\mu m={\displaystyle \frac{1}{{10}^6}}m$	$1nm={\displaystyle \frac{1}{{10}^9}}m$

이상으로 학습을 마무리 하도록 하겠습다.