문자와 식을 계산할 때 곱셈과 나눗셈 기호를 생략하는 것은 단순히 식을 짧게 쓰기 위한 약속이 아니라, 이후 식의 계산과 정리를 위한 기본적인 표현 방법입니다. 특히 수와 문자, 문자와 문자 사이의 곱셈을 어떻게 나타내는지, 나눗셈을 분수로 어떻게 바꾸는지를 정확히 이해해야 식을 잘못 해석하는 실수를 줄일 수 있습니다. 이번 글에서는 곱셈과 나눗셈을 생략하는 기본 원칙과 부호 처리 방법을 살펴보고, 여러 예제를 통해 문자식을 올바르게 나타내는 방법까지 정리해 보겠습니다.
곱셈 생략
문자과 괄호를 포함한 수식에서 곱셈을 생략하고 정리하기 때문에 문자가 포함된 식을 다루기 시작할 때 가장 먼저 학습해야 하는 중요한 내용입니다. 꼭 정리하고 수식을 보고 바로 생략된 연산을 생각할 수 있게 연습해 두어야 합니다.
문자와 수의 곱셈
$2\times3\ne 23$처럼 숫자사이의 곱셈은 생략할 수 없는 것은 너무 당연합니다. 하지만, 문자와 수 사이의 곱셈은 거의 항상 생략합니다.
- 곱셈생략, 수를 문자 앞
$2\times x=2x$, $x\times(-3)=-3x$, $\sqrt{2}\times x=\sqrt{2}x$ - $(\pm1) \times \text{(문자)}=\pm\text{(문자)}$
$1\times x=x,\;\;(-1)\times a=-a$
다음과 같은 상황은 주의해야 합니다.
- $0.1 \times a \neq 0.a$
- $0.1$은 $\pm1$ 이 아니기 때문에 곱셈을 생략할 수 없다.
- 삼각비의 값을 계산하는 과정에서 다음에 주의해야 합니다.
- $(\sin 45˚) \times x \ne \sin 45˚x$
- $\sin 45˚x=\sin (45˚x)$
두 문자 사이의 곱셈
- 곱셈 생략, 알파벳 순서
$(- x) \times a =(-1)\times \bbox[#ffff00]{x \times a}=-\bbox[#ffff00]{ax}$ - 중복된 문자: 거듭제곱
$x\times y \times (-1) \times x$$=(-1)\times x\times x\times y$$=-x^2y$
중학교 수학을 학습하다 보면 다음과 같은 문자와 수를 접하게 됩니다. 이들 사이의 일반적인 표기 순서도 중요합니다.
- 숫자, 근호가 있는수, 문자로 나타낸 무리수($\pi$), 문자로 나타낸 상수, 미지수
- $x \times \pi \times \sqrt{2} \times 2 \times a=2\sqrt{2} \pi a x$
답을 적을 때 한 번씩 생각하고 적으면 순서에 빨리 익숙해 질 수 있습니다.
괄호와 숫자 사이 곱셈
- 수를 괄호식 앞에 두고 곱셈 생략
- $(3x-2)\times(-5)=(-5)\times(3x-2)=-5(3x-2)$
- $\pm)$이 곱해진 경우: $(\pm1) \times (x+3)$ $=\pm (x+3)$
- $(x+y)\times (-5)=(-5)(x+y)=-5(x+y)$
나눗셈 생략
초등학교에서 나눗셈을 분수(나눗셈 생략)로 나타내는 방법에 대해 배웠습니다. 이를 확장하여 분자와 분모가 정수인 경우에도 다음과 같이 나눗셈을 생략하기로 합시다.
- 초등학교 : $2\div 3=\dfrac{2}{3}$
- 중학교 : 유리수 $a,\;b$에 대하여 $a\div b=\dfrac{a}{b}\;(b\neq0)$
이 때 나누는 수는 왜 0이 될 수 없을까? 피자 한 판을 나누는 상황으로 생각해 봅시다.
- $\dfrac{1}{2}$개씩 나누면 2명에게 줄 수 있다.
- $\dfrac{1}{4}$개씩 나누면 4명에게 줄 수 있다.
$\cdots$ - $0$ 개씩 나누면 무한 명에게 나누어 줄 수 있다.
이와 같은 이유로 나누는 수($b$)는 $0$이 될 수 없습니다.
나눗셈의 생략과 분수
이번 에는 $-(2\div3)$, $(-2)\div3$, $2\div(-3)$를 나눗셈을 생략한 분수 표현과 나눗셈을 곱셈으로 바꾼 역수 계산 결과를 비교해 봅시다.
- $-(2\div3)$
- 분수 표현: $-(2\div3)=-\dfrac{2}{3}$
- 역수 계산: $-(2\div3)$$=-\left(2\times \dfrac{1}{3}\right)$$=-\dfrac{2}{3}$
- $(-2)\div3$
- 분수 표현: $\dfrac{(-2)}{3}$
- 역수 계산: $(-2)\times\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}$
- $2\div(-3)$
- 분수 표현: $2\div(-3)=\dfrac{2}{(-3)}$
- 역수 계산: $2\div(-3)=2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{2}{3}$
역수 계산을 적용한 결과는 모두 동일함을 알 수 있습니다. 따라서 다음의 분수표현은 모두 같은 값을 가진다는 사실을 알 수 있습니다.
- $\dfrac{-2}{3}$$=\dfrac{2}{-3}$$=-\dfrac{2}{3}$
위의 사실을 일반화 하여 위의 관계를 정리하면 다음과 같습니다
- $\dfrac{-a}{b}$$=\dfrac{a}{-b}$$=-\dfrac{a}{b}$ $(b\ne 0)$
- 분수에 적용된 $-$ 부호는 분모, 분자, 분수식앞으로 자유롭게 이동시켜 계산할 수 있다.
이제 문제를 통해 정리해 보도록 하겠습니다.
예제
$y\div3\times x$를 곱셈과 나눗셈을 생략해 정리해 보세요.
풀이
\begin{flalign}
y\div3\times x&=\dfrac{y}{3} \times \dfrac{x}{1}\\[1em]
&=\dfrac{y\times x}{3}\\[1em]
&=\dfrac{xy}{3}
&&\end{flalign}
주의 : $y\div3\times x\neq y\div (3x)$
$\dfrac{x}{1}=x$임을 나눗셈 생략을 이용해 설명해 보세요.
풀이
\begin{flalign}
&\dfrac{x}{1}=x\div 1=x\times \dfrac{1}{1}=x\\[1em]
&\therefore\; \dfrac{x}{1}=x
&&\end{flalign}
$\dfrac{y}{3x}$을 곱셈, 나눗셈을 생략하기 전 식으로 나타내 보세요.
풀이
$\dfrac{y}{3x}=\begin{cases} \neq y\div 3\times x\cdots(1)\\[1em]
=(y) \div (3\times x)\cdots(2)\end{cases}$
(1)은 $y\div3$을 먼저 연산하고, (2)는 $(3\times x)$를 먼저 연산하기 때문에 다른식이다. 좌측과 같은 분수식을 나눗셈으로 고칠 때는 (2)와 같이 분자, 분모를 괄호로 묶어서 계산해야 한다.
곱셈과 나눗셈의 생략은 앞으로 문자식을 계산하고 정리하는 과정에서 계속 사용되는 기본 약속입니다. 곱셈에서는 수를 문자 앞에 쓰고 같은 문자는 거듭제곱으로 나타내며, 나눗셈은 분수로 표현할 수 있습니다. 또한 분수의 음수 부호는 분자, 분모, 분수식 앞에서 같은 의미로 사용할 수 있고, 분수식을 다시 나눗셈으로 나타낼 때에는 분자와 분모가 어디까지인지 정확하게 구분해야 합니다. 이러한 표현 방법을 정확히 익혀 두면 이후 단항식과 다항식의 계산에서도 식의 구조를 보다 쉽게 이해할 수 있습니다.