이차함수 y=ax²+bx+c 그래프

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를 표준형으로 고치면 꼭짓점과 축의 방정식을 구할 수 있습니다. 여기에 $x$축, $y$축과의 교점을 함께 확인하면 그래프의 위치를 더 정확하게 파악할 수 있습니다. 이번 글에서는 그래프와 두 좌표축의 교점을 구하는 방법, 그래프의 모양과 위치에 따른 $a$, $b$, $c$의 부호를 판단하는 방법을 알아보겠습니다. 이어서 꼭짓점의 위치에 따라 그래프가 $x$축과 만나는 점의 개수가 어떻게 달라지는지도 정리해 보겠습니다.

$y=ax^2+bx+c$의 그래프

이차함수의 그래프는 이차항의 계수와 꼭짓점에 의해 다음과 같이 결정됩니다.

• 이차항의 계수: 이차함수의 모양을 결정
• 꼭짓점: 이차함수의 위치를 결정

이차함수 $y=f(x)$, $f(x)=ax^2+bx+c$의 그래프를 그릴 때 기본적으로 $a$의 부호를 이용해 모양을 결정하고, 꼭짓점을 구한 다음 필요에 따라 $x$축 또는 $y$축과 만나는 점을 구하는 것이 좋습니다.

1. $a$가 양수이면 아랠로 볼록, $a$가 음수이면 위로 볼록
2. 꼭짓점의 $x$좌표는 $-\dfrac{b}{2a}$, 꼭짓점 $y$좌표는 $f\l(-\dfrac{b}{2a}\r)$
3. $x$절편: $y=0$ 일 때 $x$값
   • $ax^2+bx+c=0$을 만족하는 $x$의 값을 구하면 됩니다.
4. $y$절편: $x=0$ 일 때 $y$ 값
   • $f(0)=c$입니다.

$x$절편은 함수의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표 값, $y$절편은 함수의 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표 값을 의미합니다.

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$y=x^2-2x-\dfrac{1}{2}$의 그래프가 지나는 사분면을 구해봅시다.

설명

주어진 함수를 $y=f(x)$로 둡시다.

1. $(이차항계수)>0$: 아래로 볼록
2. 꼭짓점 $x$좌표: $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\times1}=\bbox[#ffff00]{1}$
3. 꼭짓점 $y$좌표: $f(\bbox[#ffff00]{1})=1-2-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$

아래로 볼록이면서 $\l(1,-\dfrac{3}{2}\r)$을 꼭짓점으로 하는 이차함수는 그림과 같이 4사분면을 지날 수 도 있고 지나지 않을 수도 있습니다. 그래프가 지나는 사분면을 특정짓기 위해서 $y$ 절편의 값을 계산하면 다음과 같습니다.

• $y$절편: $x=0$을 대입하면, $f(0)=-\dfrac{1}{2}$

$y$절편이 음수이므로 노란색 그래프가 지나는 사분면과 같고, 따라서 모든 사분면을 지납니다.

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이차함수 $y=x^2-7x-8$의 그래프에서 $x$절편과 $y$절편을 구해봅시다.

설명

주어진 이차함수를 $y=f(x)$로 두고 문제 정리해 봅시다.

1. $x$절편: $y=0$을 대입하여 $x$값을 구하면 됩니다.
   • $x^2-7x-8=0$이고, $(x+1)(x-8)=0$이므로, $x=-1$ 또는 $x=8$ 따라서 $x$축과의 교점의 좌표는 $(-1,0)$, $(8,0)$입니다.
2. $y$절편: $x=0$을 대입하여 $y$값을 구하면 됩니다.
   • $f(0)=-8$이므로 $y$축과의 교점의 좌표는 $(0,-8)$입니다.

좌표축과의 교점을 확인했다면, 이번에는 그래프의 모양과 축의 위치, $y$축과의 교점으로 계수 $a$, $b$, $c$의 부호를 알아봅시다.

$y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $a$, $b$, $c$의 부호

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 주어질 때 $a$, $b$, $c$의 부호를 결정하는 방법을 체계적으로 정리해 봅시다.

$a$의 부호

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프에서 $a$의 부호는 그래프의 볼록한 모양을 확인하면 다음과 같이 바로 결정할 수 있습니다.

1. 아래로 볼록(∪)하면 ⇨ $a>0$
2. 위로 볼록(∩)하면 ⇨ $a<0$

$b$의 부호

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프에서 축의 방정식 $x=-\dfrac{b}{2a}$의 $y$축에 대한 위치로 다음과 같이 $b$의 부호를 결정할 수 있습니다.

설명

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프의 축의 방정식은 $x=-\dfrac{b}{2a}$이므로

1. 축이 $y$축의 왼쪽$\Longleftrightarrow$$a$와 $b$의 부호가 같다
   • ($\Longrightarrow$) 축이 $y$축의 왼쪽에 있으면 $-\dfrac{b}{2a}<0$이고 즉 $\dfrac{b}{a}>0$이고 $a$, $b$는 같은 부호
   • ($\Longleftarrow$) $a$, $b$는 같은 부호이면, $-\dfrac{b}{2a}<0$이고 축이 $y$축의 왼쪽
2. 축이 $y$축의 오른쪽에 있으면 $-\dfrac{b}{2a}>0$, 즉 $\dfrac{b}{a}<0$이고 $a$, $b$는 다른 부호
   • ($\Longrightarrow$) 축이 $y$축의 오른쪽에 있으면 $-\dfrac{b}{2a}>0$이고 즉 $\dfrac{b}{a}<0$이고 $a$, $b$는 다른 부호
   • ($\Longleftarrow$) $a$, $b$는 다른 부호이면, $-\dfrac{b}{2a}>0$이고 축이 $y$축의 오른쪽
3. 축이 $y$축과 일치$\Longleftrightarrow$ $b=0$
   • ($\Longrightarrow$) 축이 $y$축과 일치하면 $-\dfrac{b}{2a}=0$이고 $b=0$
   • ($\Longleftarrow$) $b=0$이면 $-\dfrac{b}{2a}=0$이고 축이 $y$축

$c$의 부호

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프에서 $c$의 부호는 $y$축과 교점의 위치로 결정할 수 있습니다.

설명

이차함수 $y=ax^2+bx+c$를 $y=f(x)$라고 두면, $x=0$일 때 $y$좌표는 $f(0)=c$이고 따라서 $y$절편이 $c$입니다. 따라서 $y$축과의 교점은 $(0,c)$입니다.

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계수의 부호로 그래프의 모양과 위치를 살펴보았다면, 다음으로는 포물선의 꼭짓점이 $x$축을 기준으로 어디에 있는지에 따라 교점의 개수가 어떻게 달라지는지 알아봅시다.

$x$축과 교점 개수

$y=ax^2+bx+c$와 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프에서 $x$축과 교점의 개수는 $a$의 부호와 꼭짓점의 $y$좌표의 부호에 따라 다음과 같이 결정됩니다.

1. $a>0$ 일 때 $x$축과 교점의 개수와 꼭짓점의 $y$좌표
   • $x$축과 한 점에서 만난다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$=0$
   • $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$<0$
   • $x$축과 만나지 않는다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$>0$
2. $a<0$ 일 때 $x$축과 교점의 개수와 꼭짓점의 $y$좌표
   • $x$축과 한 점에서 만난다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$=0$
   • $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$>0$
   • $x$축과 만나지 않는다 $\Longleftrightarrow$ (꼭짓점 $y$좌표)$<0$

$y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점 $y$좌표는 $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$이고, $y=a(x-p)^2+q$의 꼭짓점 $y$좌표는 $q$입니다.

설명

$a>0$일 때 $x$축과 교점의 개수와 꼭짓점의 $y$좌표

($\Longrightarrow$) $x$축과 만나는 교점이 1개, 2개, 0개 일 때 그래프를 그리면 아래와 같고, 순서대로, 꼭짓점의 $y$좌표의 부호가 $0$, 음수, 양수가 됨을 알 수 있습니다.

($\Longleftarrow$) 꼭짓점의 $y$좌표의 부호가 $0$, 음수, 양수일 때 $x$축과 만나는 교점은 1개, 2개, 3개 인 것도 성립합니다.

$a<0$일 때 $x$축과 교점의 개수와 꼭짓점의 $y$좌표

($\Longrightarrow$) $x$축과 만나는 교점이 1개, 2개, 0개 일 때 그래프를 그리면 아래와 같고, 순서대로, 꼭짓점의 $y$좌표의 부호가 $0$, 양수, 음수가 됨을 알 수 있습니다.

($\Longleftarrow$) 꼭짓점의 $y$좌표의 부호가 $0$, 양수, 음수일 때 $x$축과 만나는 교점은 1개, 2개, 3개 인 것도 성립합니다.

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이차함수 $y=x^2-2x+k-1$가 $x$축과 한 점에서 만날 조건, $x$추과 서로 다른 두 점에서 만날 조건, $x$축과 만나지 않을 조건을 $k$를 이용해 표현해 봅시다.

설명

1. $x$축과 한 점에서 만날 때
   $y=x^2-2x+k-1=(x-1)^2+k-2$에서 꼭짓점의 좌표는 $(1,k-2)$이다.
   이 그래프가 $x$축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$이어야 하므로
   $k-2=0$ ∴ $k=2$
2. $x$축과 서로 다른 두 점에서 만날 때
   이 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$보다 작아야 하므로
   $k-2<0$ ∴ $k<2$
3. $x$축과 만나지 않을 때
   이 그래프가 $x$축과 만나지 않으려면 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$보다 커야 하므로
   $k-2>0$ ∴ $k>2$

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점은 $y=0$을 대입하여 구하고, $y$축과의 교점은 $x=0$을 대입하여 구합니다. 그래프의 모양으로 $a$의 부호를, 축의 위치로 $b$의 부호를, $y$축과의 교점으로 $c$의 부호를 판단할 수 있습니다. 또한 표준형 $y=a(x-p)^2+q$에서 꼭짓점의 $y$좌표 $q$와 $a$의 부호를 함께 살펴보면 그래프가 $x$축과 한 점에서 만나는지, 서로 다른 두 점에서 만나는지, 만나지 않는지를 구분할 수 있습니다.