이차방정식과 이차함수

이차방정식의 실근은 이차함수의 그래프가 다른 그래프와 만나는 위치를 알아보는 데 활용할 수 있습니다. 이차함수의 그래프와 $x$축의 교점은 $y=0$인 지점에서 찾을 수 있고, 직선과의 교점은 두 식을 연립하여 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 이차방정식과 이차함수가 교점을 통해 어떻게 연결되는지 살펴보고, 판별식 $D$를 이용해 교점의 개수와 위치 관계를 판단하는 방법을 정리해 보겠습니다.

이차방정식과 이차함수

이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 사이에 다음이 성립합니다.

• 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표($x$절편)는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 실근과 같습니다.

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이차함수 $y=x^2-6x+8$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표가 $x^2-6x+8=0$의 실근과 같음을 설명해 봅시다.

설명

이차함수 $y=x^2-6x+8$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $y=0$일 때의 $x$의 값이므로
$x^2-6x+8=0$을 만족하는 $x$값과 같습니다.

• $(x-2)(x-4)=0$이고, x=2$ 또는 $x=4$

이 값은 이차방정식 $x^2-6x+8=0$의 실근과 같습니다.

이처럼 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표를 구하는 문제는 이차방정식의 실근을 구하는 문제로 바꿀 수 있습니다. 따라서 이차함수와 $x$축의 교점이 몇 개인지만 알아보려면 근을 직접 구하는 대신 판별식의 부호를 확인하면 됩니다.

판별식과 이차함수

이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 사이에 다음이 성립합니다.

• 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 실근의 개수와 같습니다.

따라서 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축의 위치 관계는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 다음과 같습니다.

위의 사실을 이용해 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 $x$축과 만나는 경우는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• 이차함수 $y=ax^2+bx+c$가 $x$축과 만난다. $\Longleftrightarrow$ $D \ge 0$

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이차함수 $y=x^2-4x+5$의 그래프와 $x$축의 위치 관계를 설명해 봅시다.

설명

이차방정식 $x^2-4x+5=0$의 판별식 $D$가 $\dfrac{D}{4}=(-2)^2-1\times5=-1<0$ 이므로 주어진 이차함수의 그래프와 $x$축은 만나지 않는다.

$x$축뿐 아니라 직선과의 교점도 같은 원리로 구할 수 있습니다. 두 그래프의 $y$값이 같아지는 지점을 찾으면 되므로, 두 식을 연립하여 이차방정식을 만들면 됩니다.

이차함수와 직선

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이차함수 $y=x^2-2x+3$의 그래프와 직선 $y=x+1$의 교점의 $x$좌표를 구하는 방법에 대해 생각해 봅시다.

설명

$y=x^2-2x+3$의 그래프와 직선 $y=x+1$의 교점의 $x$좌표는 두 식을 연립한 이차방정식 $x^2-2x+3=x+1$, 즉 $x^2-3x+2=0$의 실근의 $x$값과 같습니다.

• $(x-1)(x-2)=0$, $x=1$ 또는 $x=2$

따라서 교점의 $x$좌표는 $1$, $2$ 입니다.

따라서 이차함수와 직선의 교점의 개수도 두 식을 연립하여 얻은 이차방정식의 실근의 개수로 판단할 수 있습니다.

이차함수와 직선의 위치관계

이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 개수는 두 식을 연립한 이차방정식(1)의 실근의 개수와 같습니다.

• $ax^2+bx+c=mx+n$, $ax^2+(b-m)x+c-n=0 \cdots (1)$

이차방정식 (1)의 실근은 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 $x$좌표와 같고, 이차방정식 (1)의 실근의 개수는 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 개수와 같습니다.

따라서 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 위치 관계는 이차방정식 (1)의 판별식 $D$의 부호에 따라 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

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이차함수 $y=x^2+3x-1$의 그래프와 직선 $y=-2x+1$의 교점의 개수를 구하는 방법을 생각해봅시다.

설명

두 식 $y=x^2+3x-1$, $y=-2x+1$을 연립한 이차방정식은 다음과 같습니다.

• $x^2+3x-1=-2x+1$, $x^2+5x-2=0$

이 이차방정식의 판별식 $D$가 $D=5^2-4\times1\times(-2)=33>0$이므로 주어진 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수는 2입니다.

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이차함수의 그래프와 $x$축의 교점은 $ax^2+bx+c=0$의 실근으로, 직선과의 교점은 $ax^2+bx+c=mx+n$의 실근으로 구할 수 있습니다. 두 경우 모두 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 $D$를 이용하면 교점의 개수를 판단할 수 있으며, $D>0$이면 두 점에서 만나고, $D=0$이면 한 점에서 접하며, $D<0$이면 만나지 않습니다. 이 관계를 이용하면 그래프를 직접 그리지 않고도 두 그래프의 위치 관계를 파악할 수 있습니다.