이차함수의 최대 최소 문제범 그래프의 꼭짓점과 포물선이 열리는 방향을 이용하여 구할 수 있습니다. 다만 $x$의 값에 범위가 주어지면 꼭짓점이 그 범위에 포함되는지에 따라 확인해야 할 함숫값이 달라집니다. 이번 글에서는 함수의 최댓값과 최솟값의 뜻을 먼저 정리하고, 이차함수의 식을 꼭짓점의 형태로 변형하여 최대·최소를 구하는 방법과 제한된 범위에서의 풀이를 차례로 살펴보겠습니다.
이차함수의 최대 최소
함수의 모든 함숫값 중에서 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값이라 하고, 가장 작은 값을 그 함수의 최솟값이라 한다.
최댓값과 최솟값의 뜻을 확인했다면, 이제 이차함수의 그래프에서 그 값을 어떻게 구하는지 살펴보겠습니다.
이차함수의 최대 최소
이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 최대·최소는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$의 꼴로 변형한 후 다음과 같이 구합니다.
- $a>0$이면 ⇨ $x=p$일 때 최솟값 $q$를 갖고, 최댓값은 없다.
- $a<0$이면 ⇨ $x=p$일 때 최댓값 $q$를 갖고, 최솟값은 없다.
설명
(1) $a>0$ 일 때
최댓값은 없다.
(2) $a<0$일 때
최솟값은 없다.
이차함수 $y=2x^2-4x-6$의 최댓값과 최솟값에 대해 생각해 봅시다.
풀이
$y=2x^2-4x-6=2(x-1)^2-8$ 이때 $y\ge-8$이므로
- $x=1$일 때 최솟값 $-8$
- 최댓값은 없다.
이차함수 $y=-x^2+6x+4$의 최댓값과 최솟값에 대해 생각해 봅시다.
풀이
$y=-x^2+6x+4=-(x-3)^2+13$이고, $y\le13$이므로
- $x=3$일 때 최댓값 $13$
- 최솟값은 없다.
$x$의 값에 제한이 없을 때에는 꼭짓점의 함숫값을 이용해 최대·최소를 구할 수 있습니다. 하지만 $x$의 범위가 제한되어 있으면 꼭짓점과 범위의 양 끝에서 함숫값을 비교해야 하므로, 먼저 꼭짓점의 $x$좌표가 주어진 범위에 포함되는지 확인해야 합니다.
제한된 범위에서의 이차함수의 최대 최소
$\alpha \le x\le \beta$에서 이차함수 $f(x)=a(x-p)^2+q$의 최대·최소는 다음과 같습니다.
- 꼭짓점의 $x$좌표가 제한된 범위에 포함될 때 ($\alpha \le p\le \beta$일 때)
$f(\alpha)$, $f(p)$, $f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다. - 꼭짓점의 $x$좌표가 제한된 범위에 포함되지 않을 때 ($p<\alpha$ 또는 $p>\beta$일 때)
$f(\alpha)$, $f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.
설명
(1) 꼭짓점의 $x$좌표가 제한된 범위에 포함될 때
(2) 꼭짓점의 $x$좌표가 제한된 범위에 포함되지 않을 때
다음 $x$의 값의 범위에서 이차함수 $y=-x^2-2x+5$의 최댓값과 최솟값을 구해봅시다.
- $-2\le x\le2$
- $0\le x\le2$
풀이
$y=-x^2-2x+5=-(x+1)^2+6$이므로 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 $x$좌표는 $-1$입니다.
(1) 꼭짓점의 $x$좌표 $-1$이 $-2\le x\le2$에 포함됩니다. 이때 $-3\le y\le6$이므로
- $x=-1$일 때 최댓값 $6$
- $x=2$일 때 최솟값 $-3$
(2) 꼭짓점의 $x$좌표 $-1$이 $0\le x\le2$에 포함되지 않습니다. 이때 $-3\le y\le5$이므로
- $x=0$일 때 최댓값 $5$
- $x=2$일 때 최솟값 $-3$
이차함수의 최대·최소를 구할 때에는 먼저 식을 $y=a(x-p)^2+q$의 꼴로 변형하여 꼭짓점과 그래프가 열리는 방향을 확인합니다. $x$의 값에 제한이 없다면 꼭짓점의 함숫값이 최댓값 또는 최솟값이 되고, 제한된 범위에서는 꼭짓점의 $x$좌표가 그 범위에 포함되는지 확인한 뒤 꼭짓점과 양 끝점의 함숫값을 비교합니다. 특히 꼭짓점이 범위 밖에 있는 경우에는 양 끝점의 함숫값만 비교하면 됩니다.