삼각비의 활용 두 번째는 넓이에 대한 활용입니다. 삼각형의 넓이를 구할 때 흔히 “밑변 곱하기 높이 나누기 2″라는 공식을 떠올리지만, 실제 문제에서는 높이가 직접 주어지지 않는 경우가 많습니다. 삼각비를 활용하면 두 변의 길이와 그 끼인각만으로도 삼각형의 넓이를 간단히 구할 수 있습니다. 삼각형의 넓이 공식부터 시작해 평행사변형과 일반 사각형의 넓이를 구하는 방법에 대해 차근 차근 정리해 보겠습니다.
삼각비를 이용한 삼각형의 넓이
$\triangle ABC$에서 두 변의 길이 $a$, $c$와 그 끼인각인 $\angle B$의 크기를 알면 삼각형의 넓이 $S$를 구할 수 있습니다. 끼인각의 크기가 예각일 때 와 둔각일 때로 나누어 살펴보도록 하겠습니다.
끼인각이 예각인 경우
$\triangle ABC$에서 두 변의 길이 $a$, $c$이고 끼인각 $\angle{B}$가 예각일 때 삼각형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $S = \dfrac{1}{2}ac\,\sin B$
증명
꼭짓점 $A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고, $\overline{AH} = h$라 하면 직각삼각형 $\triangle ABH$에 삼각비를 적용할 수 있습니다.
- $h = c \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{h}{c}} $$=c \times \bbox[#ffff00]{\sin B}$
따라서 $\triangle ABC $$= \dfrac{1}{2}ah $$= \dfrac{1}{2}ac\,\sin B$가 성립합니다.
끼인각이 둔각인 경우
$\triangle ABC$에서 두 변의 길이 $a$, $c$이고 끼인각 $\angle{B}$이 둔각일 때 삼각형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $S = \dfrac{1}{2}ac\,\sin\,(180^\circ – B)$
증명
꼭짓점 $A$에서 $\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하고, $\overline{AH} = h$라 하면 $\triangle AHB$에 삼각비를 적용할 수 있습니다.
- $h = c \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{h}{c}} $$=c \times \bbox[#ffff00]{\sin\,(180^\circ – B)}$
따라서 $\triangle ABC = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}ac\,\sin\,(180^\circ – B)$이 성립합니다.
예제: 삼각형의 넓이 구하기
예각과 둔각 삼각형에서 삼각형의 넓이를 구하는 예제를 살펴보도록 하겠습니다.
예각 삼각형의 넓이 구하기
$\overline{BC} = 8\,\mathrm{cm}$, $\overline{AB} = 5\,\mathrm{cm}$, $\angle B = 60^\circ$일 때 $\triangle {ABC}$의 넓이를 구하여라.
풀이
$\triangle ABC $$= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 60^\circ $$= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$= 10\sqrt{3}\,(\mathrm{cm}^2)$
둔각삼각형의 넓이 구하기
$\overline{BC} = 10\,\mathrm{cm}$, $\overline{AB} = 6\,\mathrm{cm}$, $\angle B = 135^\circ$일 때 $\triangle {ABC}$의 넓이를 구하여라.
풀이
$\triangle ABC $$= \dfrac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \sin\,(180^\circ – 135^\circ) $$= \dfrac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \sin 45^\circ $$= \dfrac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}\,(\mathrm{cm}^2)$
삼각형의 넓이 공식을 이해했다면 이제 한 단계 더 나아가 볼 차례입니다. 사각형은 대각선을 그으면 두 개의 삼각형으로 나눌 수 있기 때문에, 방금 배운 삼각형의 넓이 공식이 사각형에서도 그대로 힘을 발휘합니다. 평행사변형과 일반 사각형의 넓이를 삼각비로 어떻게 구하는지 살펴보겠습니다.
삼각비를 이용한 사각형의 넓이
평행사변형의 넓이
평행사변형에서 이웃하는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 삼각비를 이용해 평행사변형의 넓이 를 구할 수 있습니다. 이 문제도 끼인각이 예각인 경우와 둔각인 경우로 나누어 정리해 보겠습니다.
끼인각이 예각인 경우
이웃하는 두 변의 길이 $a$, $b$이고 그 끼인각 $\angle B$가 예각인 평행사변형 $ABCD$의 넓이$S$는 다음과 같습니다.
- $S = ab\,\sin B$
증명
대각선 $\overline{AC}$를 그리면 $\square ABCD$의 넓이는 합동인 두 삼각형의 넓이의 합으로 계산할 수 있습니다.
$\square ABCD $$= 2\triangle ABC $$= 2 \times \dfrac{1}{2}ab\,\sin B $$= ab\,\sin B$
끼인각이 둔각인 경우
이웃하는 두 변의 길이 $a$, $b$이고 그 끼인각 $\angle B$가 둔각인 평행사변형 $ABCD$의 넓이$S$는 다음과 같습니다.
- $S = ab\,\sin\,(180^\circ – B)$
증명
대각선 $\overline{AC}$를 그리면 $\square ABCD$의 넓이는 합동인 두 삼각형의 넓이의 합으로 계산할 수 있습니다.
$\square ABCD $$= 2\triangle ABC =$$ 2 \times \dfrac{1}{2}ab\,\sin\,(180^\circ – B) $$= ab\,\sin\,(180^\circ – B)$
두 대각선과 사잇각을 이용한 사각형의 넓이
두 대각선의 길이와 대각선이 이루는 각의 크기를 알면 삼각비를 이용해 사각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 이 내용도 대각선이 이루는 각의 크기가 예각인 경우와 둔각인 경우로 나누어 다루어 보겠습니다.
사잇각이 예각인 경우
두 대각선의 길이가 $a$, $b$이고 대각선이 이루는 $\angle x$의 크기가 예각인 $\square ABCD$의 넓이는 다음과 같습니다.
- $S = \dfrac{1}{2}ab\,\sin x$
증명은 아래에 함께 정리했습니다.
사잇각이 둔각인 경우
두 대각선의 길이가 $a$, $b$이고 대각선이 이루는 $\angle x$의 크기가 예각인 $\square ABCD$의 넓이는 다음과 같습니다.
- $S = \dfrac{1}{2}ab\,\sin\,(180^\circ – x)$
증명
네 점 $A$, $B$, $C$, $D$를 지나고 대각선 $AC$, $BD$에 평행한 직선을 그어 이들이 만나는 점을 각각 $E$, $F$, $G$, $H$라 하면 $\square EFGH$는 평행사변형이고, $\square ABCD $$= \dfrac{1}{2}\square EFGH $이고 다음이 성립합니다.
- $\angle x$가 예각: $\square EFGH=ab\ \sin x$
- $\angle x$가 예각: $\square EFGH=ab\ \sin (180^\circ – x)$
예제: 사각형의 넓이 구하기
두 변의 길이와 끼인각
$\overline{AB} = 2\,\mathrm{cm}$, $\overline{BC} = 3\,\mathrm{cm}$, $\angle B = 45^\circ$인 평행사변형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.\
풀이
$\square ABCD $$= 2 \times 3 \times \sin 45^\circ $$= 2 \times 3 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$= 3\sqrt{2}\,(\mathrm{cm}^2)$
대각선의 길이와 각도를 이용
두 대각선의 길이가 $12\,\mathrm{cm}$, $16\,\mathrm{cm}$이고 두 대각선이 이루는 각이 $120^\circ$인 사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.
풀이
$\square ABCD $$= \dfrac{1}{2} \times 12 \times 16 \times \sin (180-120)^\circ $$= \dfrac{1}{2} \times 12 \times 16 \times \sin60^\circ $$=\dfrac{1}{2} \times 12 \times 16 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$= 48\sqrt{3}\,(\mathrm{cm}^2)$
지금까지 삼각비를 이용해 삼각형과 사각형의 넓이를 구하는 방법을 함께 살펴보았습니다. 핵심은 딱 하나입니다. 두 변과 그 끼인각만 알면 $\frac{1}{2}ac\,\sin B$로 삼각형의 넓이를 구할 수 있고, 끼인각이 둔각이라면 $\sin\,(180^\circ – B)$로 바꾸어 계산하면 된다는 점입니다. 평행사변형은 대각선으로 나눈 두 삼각형을 합친 것이니 $ab\,\sin B$가 되고, 일반 사각형은 두 대각선의 길이와 그 사이의 각으로 $\frac{1}{2}ab\,\sin x$를 적용하면 됩니다.