삼각형의 내심의 응용 정리, 예제

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점으로, 내접원의 중심이라는 사실은 널리 알려져 있습니다. 하지만 단순한 정의를 넘어서, 내심의 응용은 삼각형의 넓이, 접선의 길이, 각의 크기 계산 등 다양한 문제에 등장합니다.

이 글에서는 내심의 개념을 실제 문제에 어떻게 적용할 수 있는지를 세 가지 대표 응용을 통해 구체적으로 살펴봅니다. 단순한 이론 암기를 넘어, 내심을 도구로 활용하는 사고 과정까지 함께 익히고자 한다면, 끝까지 읽어보시길 권합니다.

내심과 삼각형의 넓이

삼각형의 세 변의 길이가 주어질 때 함께 삼각형의 넓이를 내접원의 반지름을 이용해 간단한 공식으로 계산할 수 있습니다.

내접원의 반지름과 삼각형의 넓이

[증명]

각 부분 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

1. $\triangle{ABI} = \dfrac{1}{2} \times c \times r$
2. $\triangle{BCI} = \dfrac{1}{2} \times a \times r$
3. $\triangle{CAI} = \dfrac{1}{2} \times b \times r$

변변 더하면 $\triangle{ABC}$의 넓이는 다음과 같습니다.

• $\triangle{ABC} = \dfrac{1}{2} \times (a + b + c) \times r $

• $\triangle{ABC}=\dfrac{1}{2} \times (6+8+10) \times r = 24$

위의 방정식을 풀면 내접원의 반지름을 구하면 다음과 같습니다.

\begin{flalign} \dfrac{1}{2} \times (24) \times r &= 24\\
r&=2&& \end{flalign}

내심과 접선의 길이

교육과정에서 접선의 길이는 중학교 2학년에서는 내심과 관하여 정리하고, 중학교 3학년에서는 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이로 정리합니다. 이 두가지 내용은 정확히 같은 의미를 가지고 있습니다.

중학교 3학년에서는 접선의 성질을 삼각형에서 사각형으로 확장하여 다루고 사각형의 내심이 존재할 조건에 대해서도 다루게 됩니다. (중학교 3학년 듀란드 정리)

• 사각형이 원에 외접하면 마주보는 변의 길이 합이 같다.
• 마주보는 변의 길이 합이 같은 사각형은 원에 외접한다. (사각형의 내심이 존재할 조건)

내접원과 접선의 길이

[증명]

따라서 $\overline{BE}$의 길이는 다음을 이용하여 구할 수 있습니다.

• $\overline{AB}+\overline{BC}-\overline{CA}=2\times\overline{BE}$

직각삼각형에서 내접원의 반지름

따라서 빗변의 길이가 $c$이고, 빗변이 아닌 두 변의 길이가 $a,\ b$일 때 내접원의 반지름 $r$은 다음을 만족합니다.

• $a+b-c=2r$

$\overline{BD} = \overline{BE} = x$로 두면, 다음이 성립합니다.

1. $\overline{CE} = \overline{CF} = 13-x$
2. $\overline{AD} = \overline{AF} = 15-x$

\begin{flalign}\overline{CA}&=\overline{AF}+\overline{CF}\\
&=(13-x)+(15-x)=12&&\end{flalign}

위의 식을 풀면 $\overline{BD}=8$임을 알 수 있습니다.

내심과 각의 크기

내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점으로, 이를 기준으로 나누어진 각의 관계를 이용하면 여러 각의 크기를 효율적으로 구할 수 있습니다.

내심과 삼각형의 각의 크기1

$\triangle{ABC}$의 내심$I$에 대하여 다음이 성립합니다.

• $\angle{x} + \angle{y} + \angle{z} = 90^\circ$

[증명]

$I$가 내심이므로 $\overline{AI},\;\overline{BI},\;\overline{CI}$는 각의 이등분선이고 $\angle{A},\;\angle{B},\;\angle{C}$의 이등분된 각을 각각 $x,\; y,\;z$라고 할 때, 다음을 만족합니다.

• $\angle{A}=2x$, $\angle{B}=2y$, $\angle{C}=2z$

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$이므로, $\angle{A} + \angle {B} + \angle {C} = 180^\circ$ 이고 따라서 다음이 성립합니다.

• $2x+2y+2z=180^\circ$ $\Rightarrow\; x+y+z=90^\circ$

내심과 삼각형의 각의 크기2

$\triangle{ABC}$의 내심$I$에 대하여 다음이 성립합니다.

• $\angle{BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2} \angle{a}$

[증명]

$I$가 내심이므로 $\overline{AI},\;\overline{BI},\;\overline{CI}$는 각의 이등분선이고 $\angle{A},\;\angle{B},\;\angle{C}$의 이등분된 각을 각각 $x,\; y,\;z$라고 할 때, 다음을 만족합니다.

변변 더하여 정리하면 다음과 같습니다.

\begin{flalign} \angle{BIC} &= \angle{BID}+\angle{CID}\\
&=x+\bbox[#ffff00]{x+y+z}\\
&=\bbox[#ffff00]{90^\circ} + \bbox[#dcff8d]{x} &&\end{flalign}

따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

• $\angle{BIC} =\bbox[#ffff00]{90^\circ} + \bbox[#dcff8d]{\dfrac{1}{2}\angle{a}}$

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