원과 접선의 길이에 대한 성질을 이해했다면, 이제 그 개념을 원에 외접하는 삼각형과 사각형에 적용해 볼 차례입니다. 이번 시간에는 삼각형의 내접원이 가지는 성질과, 원에 외접하는 사각형에서 성립하는 대변의 길이 관계에 대해 정리해 보겠습니다. 두 내용 모두 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다’는 접선의 길이 성질을 바탕으로 하고 있어, 앞서 배운 개념이 도형 속에서 어떻게 확장되는지 자연스럽게 확인할 수 있습니다.
원에 외접하는 삼각형
원에 외접하는 $\triangle ABC$의 내접원을 $O$라 하고, 원 $O$가 $\overline{AB},\ \overline{BC},\ \overline{CA}$와 접하는 점을 각각 $D,\ E,\ F$라 할때 원 $O$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 다음이 성립합니다.
- $\overline{AD}$$=\overline{AF}$, $\overline{BE}$$=\overline{BD}$, $\overline{CF}$$=\overline{CE}$
- $\triangle ABC$의 둘레의 길이: $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$$=2(x+y+z)$
- $\triangle ABC$의 넓이: $\triangle ABC$$=\dfrac{1}{2}r(\triangle ABC \text{의 둘레})$
1은 접선의 길이에 대한 성질에 의해 바로 생각할 수 있습니다. 2, 3에 대한 증명을 살펴 봅시다.
증명2
$\triangle ABC$에서 $\overline{BD}=\overline{BE}=y$, $\overline{CE}=\overline{CF}=z$, $\overline{AF}=\overline{AD}=x$이므로
($\triangle ABC$의 둘레의 길이)$=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}$
$=(x+y)+(y+z)+(z+x)$
$=2(x+y+z)$
증명3
$\triangle ABC=\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA$
$=\dfrac{1}{2}\times\overline{AB}\times r+\dfrac{1}{2}\times\overline{BC}\times r+\dfrac{1}{2}\times\overline{CA}\times r$
$=\dfrac{1}{2}r(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})$$=\dfrac{1}{2}r(\triangle ABC \text{의 둘레})$
직각삼각형의 내접원
$\angle C=90˚$인 직각삼각형 $\triangle ABC$의 내접원 $O$의 반지름의 길이를 $r$라 하고, 원 $O$와 두 변 $\overline{BC},\ \overline{CA}$의 접점을 각각 $D,\ E$라 하면 사각형 $\square ODCE$는 한 변의 길이가 $r$인 정사각형입니다.
삼각형의 내접원에서 접선의 길이가 어떻게 활용되는지 살펴보았다면, 이번에는 같은 원리를 사각형에 적용해 보겠습니다. 원에 외접하는 사각형에서도 접선의 길이가 같다는 성질을 이용하면 대변의 길이 사이에 흥미로운 관계가 성립함을 확인할 수 있습니다.
원에 외접하는 사각형 성질과 조건
- 성질: 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 같다.
- $\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}$
- 조건: 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 사각형은 원에 외접한다.
- 듀란드의 문제
증명1
사각형 ABCD가 원 O에 외접할 때, 그 접점을 각각 P, Q, R, S라 하자. 이때 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이가 같고 같은 변을 문자로 두고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $\overline{AP}=\overline{AS}=a$
- $\overline{DR}=\overline{DS}=b$
- $\overline{BP}=\overline{BQ}=c$
- $\overline{CR}=\overline{CQ}=d$
$\overline{AD}+\overline{BC}$$=a+b+c+d$$=\overline{AB}+\overline{CD}$
즉, 원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 같습니다.
듀란드의 문제
위의 사실을 반대로 생각 하면 “$\square{ABCD}$ 에 대하여 마주보는 변의 길이 합이 같으면 사각형은 원에 외접한다.”입니다. 이 문제는 듀란드의 문제로 알려져 있고 참이라고 알려져 있습니다.
지금까지 삼각형의 내접원과 원에 외접하는 사각형이 갖는 성질을 살펴보았습니다. 두 내용 모두 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 기본 원리에서 출발한다는 공통점이 있습니다. 이 성질을 잘 기억해 두면 도형의 둘레나 넓이, 변의 길이를 구하는 다양한 문제를 훨씬 수월하게 해결할 수 있습니다. 오늘 정리한 내용을 바탕으로 관련 문제를 직접 풀어보면서 개념을 확실히 익혀보시기 바랍니다.