허수단위 $i$를 도입하면 실수의 범위에서는 나타낼 수 없었던 수를 표현할 수 있게 됩니다. 이제 실수와 허수를 하나의 체계 안에서 함께 다루기 위해 $a+bi$의 꼴로 나타내는 복소수를 정의합니다. 이번 글에서는 복소수의 뜻과 실수부분·허수부분의 의미를 살펴보고, 복소수를 실수와 허수, 순허수로 어떻게 분류하는지 정리한 다음 두 복소수가 서로 같기 위한 조건까지 알아보겠습니다.
복소수
- 복소수: 임의의 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+bi$의 꼴로 나타내어지는 수
- $a$를 실수부분, $b$를 허수부분이라 합니다.
- 주의: 허수부분은 $bi$가 아니라 $b$이다.
- $0i=0$으로 정의한다.
- 복소수 $a+bi$에 대하여 $b=0$일 때 $a+bi=a+0i=a(실수)$이므로 실수는 복소수에 포함됩니다.
복소수의 분류
복소수 $a+bi$ ($a$, $b$는 실수)를 분류하면 다음과 같습니다.
- 실수 $a$ $(b=0)$
- 허수 $a+bi$ $(\bbox[#ffff00]{b\ne0})$
- 순허수 $bi$ $(a=0,\ \bbox[#ffff00]{b\ne0})$
- 순허수가 아닌 허수 $a+bi$ $(a\ne0,\ \bbox[#ffff00]{b\ne0})$
복소수도 제곱근이 포함된 식처럼 실수부분과 허수($\sqrt{-1}$)부분으로 구분하여 나타냅니다. 이제 두 복소수가 같은지 판단하는 방법에 대해 살펴봅시다.
복소수가 서로 같을 조건
두 복소수에서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 서로 같을 때, 두 복소수는 서로 같다고 합니다.
$a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때
- $a+bi=0 \Longleftrightarrow a=0,\ b=0$
- $a+bi=c+di \Longleftrightarrow a=c,\ b=d$
- $a$, $b$가 실수일 때, $2+4i=a+bi$이면 $a=2$, $b=4$이다.
1 증명
$a+bi=0$ 이면 이항을 통해 $a=-bi$와 같이 정리할 수 있고 $b\ne0$일 때 다음이 성립합니다.
- $b\ne0$이면 $a$는 허수이다.
위의 사실은 $a$는 실수라는 조건과 서로 모순이되는 결과이고, 따라서 $b=0$이고 $a=0$입니다.
2 증명
$a+bi=c+di$에서 우변을 좌변으로 이항하여 정리하면, $(a-c)+(b-d)i=0$이고 1에의해 다음이 성립합니다.
- (a-c)=0, (b-d)=0
따라서 $a=c$, $b=d$입니다.
복소수는 두 실수 $a$, $b$와 허수단위 $i$를 이용하여 $a+bi$의 꼴로 나타내며, $a$를 실수부분, $b$를 허수부분이라고 합니다. 특히 $b=0$이면 복소수 $a+bi$는 실수가 되므로 실수는 복소수에 포함됩니다. 또한 $b\ne0$인 복소수는 허수이고, 그중 실수부분이 $0$인 경우를 순허수라고 합니다. 두 복소수가 서로 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 하므로, 이 조건을 정확히 이해해 두면 이후 복소수의 연산과 방정식을 다루는 데 중요한 기초가 됩니다.