수학 학습 자료

삼각형의 내각과 외각을 이등분하는 각의 이등분선은 대변의 길이를 일정한 비(두 변의 길이비)로 나눕니다.더 정확하게 표현하면, 내각의 이등분선은 대변을 두 변의 길이 비로 내분하고, 외각의 이등분선은 그 연장선을 같은 비로 외분합니다. 이번 글에서는 이등분선이 만들어내는 비례 관계를 평행선과 선분의 길이의 비를 이용해 증명하는 과정을 정리해 보았습니다. 삼각형의 각의 이등분선을 내분점과 외분점으로 생각하면 각의 이등분선을 보는 관점이 … 더 읽기

전 시간에 배운 평행선과 선분의 길이의 비는 중학교 기하에서 가장 중요한 비례 개념 중 하나입니다. 특히 사다리꼴과 평행한 직선이 포함된 문제에서 평행선과 선분의 길이의 비를 응용하면 복잡한 길이 계산도 간단하게 해결할 수 있습니다. 이 글에서는 평행선과 선분의 길이의 비를 활용하는 대표적인 응용 문제를 중심으로, 사다리꼴과 세 평행선에서의 선분의 길이비를 두 가지 풀이를 이용해 단계별로 정리했습니다. … 더 읽기

평행선과 선분의 길이비는 중학교 도형 단원에서 닮음과 비례의 핵심 개념을 이해하기 위한 중요한 내용입니다. 평행선과 잘린 선분의 위치에 따라서 잘려진 선분은 다양하게 나타날 수 있어 개별적으로 학습하는 것은 비효율적입니다. 따라서 위의 상황을 두 가지 상황으로 나누고 특수한 상황을 증명한 다음 일반화 시켜 정리해 보도록 하겠습니다. 이러한 과정을 거치면 기억하기 쉽고 다양한 상황에 적용할 수 있는 … 더 읽기

삼각형의 닮음은 도형의 크기는 다르지만 모양이 같은 관계를 의미합니다. 수학에서 닮음 개념은 비례식, 합동, 그리고 삼각비와도 깊은 관련이 있으며, 중학교 도형 단원에서 매우 중요한 핵심 개념 중 하나입니다. 이 글에서는 삼각형의 닮음 조건(SSS, SAS, AA)과 직각삼각형 닮음 공식 응용까지 단계별로 정리해 보았습니다. 삼각형의 닮음 조건 두 삼각형이 다음 세 조건 중 어느 하나를 만족시키면 서로 … 더 읽기

스마트폰에서 사진을 확대해도 인물의 눈, 코, 입의 위치나 각도는 변하지 않습니다. 모든 부분의 길이만 일정한 비율로 커질 뿐, 모양은 그대로 유지됩니다.이처럼 각의 크기는 같고 대응변의 길이의 비가 일정한 관계를 닮음이라 하며, 서로 닮은 두 도형을 닮은 도형이라고 합니다. 도형의 닮음은 단순한 모양의 유사성을 넘어, 수학적으로 비율과 각도를 보존하는 관계를 뜻합니다. 건축 모형, 지도 축척, 사진 … 더 읽기

평행선 사이의 삼각형의 넓이는 중학교 수학에서 반드시 짚고 넘어가야 할 핵심 개념입니다. 왜 같은 넓이가 되는지를 이해하면 문제 해결력이 크게 높아집니다.이번 글에서는 평행선과 삼각형, 사다리꼴, 평행사변형의 넓이 관계를 차례대로 정리하고, 증명 아이디어까지 함께 담았습니다. 끝까지 읽으시면 개념이 훨씬 잘 정리될 것입니다. 평행선과 삼각형의 넓이 높이가 같은 삼각형의 넓이 높이가 같은 삼각형 $\triangle{ABC},\ \triangle{ACD}$의 넓이 비는 … 더 읽기

삼각형 안에는 꼭짓점, 무게중심, 외심, 내심처럼 수많은 특별한 점들이 숨어 있습니다. 그중에서도 방심은 흔히 지나치기 쉬우나, 중학교 기하의 여러 단원과 깊게 연결되는 중요한 개념입니다. 삼각형의 방심은 단순히 정의만 외우는 것이 아니라, 각의 이등분선의 성질, 접선의 길이 공식, 합동 조건, 직각삼각형의 성질 등 앞으로 배우게 될 기하 단원들과 자연스럽게 이어집니다. 방심의 존재와 성질을 이해하면, 이후 닮음 … 더 읽기

피타고라스 정리를 단순히 $a^2+b^2=c^2$라는 공식 하나를 암기하는 수준에서 학습하면 안됩니다. 직각삼각형의 구조와 깊이 연결된 이 정리는, 도형의 넓이와 합동, 닮음, 대수적 전개 등 수학의 여러 갈래를 하나로 이어주는 관문 역할을 하기 때문입니다. 중학교 2학년 시기는 이제 막 직관적인 암기를 넘어 논리적인 이해를 쌓아가는 시기입니다. 피타고라스 정리를 다양한 방법으로 증명하는 과정은 단순히 한 가지 사실을 확인하는 … 더 읽기

사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형에 대한 정의와 대각선의 성질·조건을 정리하고, 나아가 등변사다리꼴에 대한 심화 학습 내용까지 다루었습니다. 여러가지 사각형의 정의·성질·조건을 이번 글에서 한눈에 알아보기 쉽게 정리했습니다. 그동안 배운 내용의 기억과 암기를 돕기 위해 표와 도식을 통해 정리하고, 체계적으로 연결하여 복습할 수 있도록 구성했습니다. 단순한 암기를 넘어서, 정의 → 성질 → 조건의 흐름을 따라가며 전체적인 구조를 … 더 읽기

사다리꼴과 등변사다리꼴은 중학교 기하 단원에서 자주 다뤄지는 기본 도형이지만, 등변사다리꼴 성질과 조건 사이의 관계는 자세히 다루지 않고 지나가는 학생이 많습니다. 특히 “한 쌍의 대변의 길이가 평행하고 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형은 등변사다리꼴이다(거짓)”와 같은 거짓 명제는 단순히 진위 여부를 아는 것을 넘어, 조건이 성립하지 않는 반례까지 검토하는 과정이 필요합니다. 이번 글에서는 정의에서 부터 시작해서 … 더 읽기