삼각형의 외심은 세 꼭짓점을 모두 지나는 외접원의 중심으로, 단순히 정의를 외우는 것보다 왜 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나고 그 점이 외심이 되는지를 이해하는 것이 중요합니다. 외심의 성질을 이용하면 삼각형 안에서 여러 각의 관계를 설명할 수 있고, 중심각과 원주각의 관계나 원에 내접하는 사각형의 성질까지 자연스럽게 연결할 수 있습니다. 이번 글에서는 삼각형의 외심의 정의와 성질, 외심을 찾는 방법과 존재성의 증명, 여러 가지 응용과 예각·직각·둔각삼각형에서의 외심 위치까지 차례로 정리해 보겠습니다.
다각형의 외심
먼저 외심이 무엇인지에 대해 정리해 봅시다.
한 다각형의 모든 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 원은 다각형에 외접한다고 하며, 이 원을 외접원, 그 중심을 외심이라 합니다. 삼각형의 외심은 외접원의 중심이며, 보통 $O$로 나타냅니다.
- 다각형의 외접원: 다각형의 모든 꼭짓점을 동시에 지나는 원
- 다각형의 외심: 외접원의 중심
따라서 삼각형의 외심은 다음과 같이 정의 합니다.
- 삼각형의 외심: 삼각형의 모든 꼭짓점을 동시에 지나는 외접원의 중심
삼각형의 외심의 성질
$O$가 삼각형$\triangle{ABC}$의 외심이라면 다음과 같은 성질을 만족합니다.
- 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 반지름으로 같다.
- $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}=R(\text{반지름})$
- 외심에서 세 변에 내린 수선은 세 변의 수직이등분선이다.
$O$가 $\triangle{ABC}$의 외심이라면 $O$에서 세 꼭짓점까지 거리는 반지름($R$)으로 같게 됩니다. 따라서 1은 당연히 성립합니다.
2 증명
외심에서 세 변에 내린 수선은 세 변의 수직이등분선임을(성질2)은 아래와 같이 증명할 수 있습니다.
$O$가 삼각형 $\triangle{ABC}$의 외심이면 [성질1]에 의해 다음이 성립합니다.
- $\triangle{OAB}$, $\triangle{OBC}$, $\triangle{OCA}$: 이등변 삼각형
따라서 $O$에서 세 변에 내린 수선은 세 변의 수직이등분선이됩니다.
삼각형의 외심을 찾는 방법
다음 두 상황에 대해 생각해 보면서 외심의 존재성에 대해 생각해 봅시다.
- 외심이 주어진 경우: $O$가 삼각형의 외심으로 주어지는 경우 위의 두 성질을 만족
- 외심이 주어지지 않은 경우: 외심이 항상 존재하는지? 외심을 찾는 방법?
외심이 항상 존재하고 다음과 같이 찾을 수 있음이 알려져 있습니다.
- 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점 에서 만나고 이 점은 외심이 된다.
외심의 존재성 증명
$\triangle{ABC}$에서 $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 수직이등분선의 교점이 존재하고 이 점을 $O$라 합시다.
이등변삼각형의 조건에 의해
- $O$는 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있으므로 $\triangle{OAB}$는 이등변삼각형이고, $\overline{OA} = {\color{blue}\overline{OB}}$
- $O$는 $\overline{BC}$의 수직이등분선 위에 있으므로 $\triangle{OBC}$는 이등변삼각형이고, ${\color{blue}\overline{OB}}= \overline{OC}$
두 사실을 정리하면 $\bbox[#e4ecca]{\overline{OA}} = {\color{blue}\overline{OB}}= \bbox[#e4ecca]{\overline{OC}}$이고 $\bbox[#e4ecca]{\triangle{AOC}}$는 이등변 삼각형입니다. 따라서 다음이 성립합니다.
- $\overline{AC}$의 수직이등분선은 $O$를 지난다.
따라서 세 변의 수직이등분선이 모두 한 점$O$에서 만나고 (존재성) 다음과 같은 이유로 이 점은 외심이 됩니다.
- 중심이 $O$ 반지름이 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}=R(\text{반지름})$인 원을 그리면, 이 원은 $\triangle{ABC}$의 세 꼭짓점을 지나는 외접원이 되고, 점$O$는 $\triangle{ABC}$의 외심이 됩니다.
삼각형의 외심의 응용
응용1
점 $O$가 $\triangle ABC$의 외심일 때, 다음이 성립합니다.
- $\angle x + \angle y + \angle z = 90^\circ$
증명
$O$는 $\triangle ABC$의 외심이므로 다음을 만족합니다.
- $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$
- $\triangle{OAB}$, $\triangle{OBC}$, $\triangle{OCA}$: 이등변삼각형
따라서 삼각형의 세 각을 $x,\;y,\;z$를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$\begin{align}\angle BAC& + \angle ABC + \angle ACB \\
&= 2(\angle x + \angle y + \angle z)\\
&=180^\circ \end{align}$
따라서 $\angle x + \angle y + \angle z = 90^\circ$를 만족합니다.
응용2
점 $O$가 $\triangle ABC$의 외심일 때, 다음이 성립합니다.
- $\angle{BOC} = 2 \angle{BAC}$
증명
$\overline{AO}$의 연장선과 $\overline{BC}$가 만나는 교점을 $D$라고 두고,
$\angle{OAB} = \angle{x}$, $\angle{OAC} = \angle{y}$라고 두면 다음이 성립합니다.
$\triangle{OAB}$, $\triangle{OAC}$: 이등변 삼각형이므로
- $\angle{OAB}=\angle{OBA}=x$
- $\angle{OAC}=\angle{OCA}=y$
삼각형의 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같기 때문에 다음이 성립합니다.
- $\angle{BOD}=x+x=2x$
- $\angle{COD}=y+y=2y$
$\angle{BOC}=\angle{BOD}+\angle{COD}=2x+2y$
$\angle{BAC}=x+y$를 이용해 $\angle{BOC}$를 정리하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
- $\angle{BOC}=2x+2y=2(x+y)=2\angle{BAC}$
따라서 $\angle{BOC}=2\angle{BAC}$가 성립합니다.
확장
이 사실을 확장하면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있습니다. 이는 중학교 2학년에서 외심의 응용으로 다룰 수도 있고, 중학교 3학년 원주각의 활용으로 다룰 수도 있습니다.
$O$는 $\triangle{ABD}$의 외심이므로 $\overparen{BD}$를 포함하는 부채꼴이 중심각은 $2a$입니다.
$O$는 $\triangle{ABD}$의 외심이기도 하므로 $\overparen{BAD}$를 포함하는 부채꼴의 중심각은 $2c$입니다. (보조선 $\overrightarrow{CO}$를 이용해 삼각형의 외각성질 이용)
따라서 $2a+2c=360^\circ$이고 $a+c=180^\circ$입니다. 이를 통해 원에 내접하는 사각형의 성질을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 원에 내접하는 사각형의 성질: 마주보는 각의 크기합이 $180^\circ$
이 성질은 사각형이 원에 내접할 조건도 됩니다. (중학교 3학년 과정)
삼각형의 외심 위치
예각, 직각, 둔각 삼각형에서 외심을 찾는 과정은 직관적으로 받아들이고, 중학교 3학년 원주각을 학습할 때 증명할 수 있게 됩니다.
영상속의 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
- 예각삼각형: 외심은 삼각형 내부
- 직각삼각형: 외심은 빗변의 중점
- (직각삼각형의 외접원 반지름)$=\dfrac{(\text{빗변의 길이})}{2}$
- 둔각삼각형: 외심은 삼각형의 외부
이등변삼각형의 외심 위치
추가로 이등변삼각형에서 외심은 밑변의 수직이등분선 위에 있습니다. 그리고 이등변삼각형에서 밑변의 수직이등분선은 꼭지각을 이등분선, 꼭지각에서 대변에 내린수선, 꼭지각에서 대변에 그은 중선과 일치합니다.따라서 이등변삼각형의 외심의 위치는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 꼭지각의 이등분선위에 있다.
- 꼭지각에서 대변에 내린 수선 위에 있다.
- 꼭지각에서 대변에 그은 중선 위에 있다.
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이며, 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같다는 성질을 가집니다. 이러한 성질을 이용하면 외심의 존재를 증명할 수 있을 뿐 아니라 삼각형 안의 각의 관계, 중심각과 원주각의 관계, 원에 내접하는 사각형의 성질까지 연결해서 이해할 수 있습니다. 또한 예각삼각형에서는 외심이 내부에, 직각삼각형에서는 빗변의 중점에, 둔각삼각형에서는 외부에 위치한다는 사실을 함께 정리해 두면 여러 도형 문제를 해결할 때 외심의 위치와 성질을 보다 정확하게 활용할 수 있습니다.