소인수분해 심화 문제 유형 정리

이번 시간에는 소인수분해와 관련된 심화 문제를 유형별로 정리해 보기로 하자.

제곱수와 소인수분해

제곱수는 어떤 자연수의 제곱이 되는 수를 뜻하고 정리하면 다음과 같다.

$\text{(제곱수)}=\text{(자연수)}^2$
$1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\dots$
$1^2$을 제외한 제곱수는 소인수분해 가능하다.

제곱수와 지수의 관계

먼저 결론부터 정리해 보면 다음과 같다. 여기서는 $1^2$을 제외하고 소인수분해 가능한 제곱수에 대한 성질을 중심으로 정리하자.

제곱수는 소인수분해 하면 지수가 짝수이다.
소인수분해 하여 지수가 짝수인 자연수는 제곱수 이다.

$\text{(제곱수)}=\text{(소인수의 지수가 모두 짝수)}$

제곱수의 성질: 지수가 짝수

$\text{(자연수)}=\triangle^\heartsuit \times \square^\bigcirc$로 소인수 분해 될 때 $\text{(자연수)}^2=\left(\triangle^\heartsuit \times \square^\bigcirc\right)^2=\triangle^{2\times \heartsuit} \times \square^{2\times\bigcirc}$이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

제곱수를 소인수 분해하면 지수가 짝수이다.

지수가 짝수인 수의 성질: 제곱수

소인수 분해 결과 지수가 짝수인 수의 성질에 대해 살펴보자.

어떤 자연수$N$를 소인수 분해한 결과가 $3^6\times5^4$ 일 때 이 자연수$N$은 다음과 같은 이유로 제곱수이다.

$3$이 곱해진 개수 : 6번
$5$가 곱해진 개수 : 4번
$\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}$ : $\bbox[#ffff00]{3^3\times5^2}$
$N=3^6\times5^4=\left(\bbox[#ffff00]{3^3\times5^2}\right)^2$

자연수 $N$을 소인수 분해 결과 소인수의 지수가 모두 짝수라면 $\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}$를 생각할 수 있다. 따라서 주어진 자연수 $N$은 $\bbox[#ffff00]{\text{지수를 반으로 줄인 수}}^2$이고 따라서 $N=\bbox[#ffff00]{\text{(자연수)}}^2$을 만족하는 제곱수이다.

제곱수 관련된 문제

$360\times a$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 자연수 $a$에 대하여 다음의 물음에 답하여라.

[1] 최소 자연수 $a$값 구하기.

$360\times a=2^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times a=\text{(제곱수)}$를 만족해야 한다. 따라서 소인수 분해 결과 지수를 짝수로 만들 수 있는 최소 $a$값을 구하면 된다.

소인수$2,5$의 지수가 ${\color{#dc143c}\text{홀수}}$이므로 최소한 이 두 소인수의 지수를 짝수로 만들어야 하고 최소 자연수 $a=2\times 5$이다.

[2] 10번째로 작은 자연수 $a$값 구하기.

$360\times a=2^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times a=\text{(제곱수)}$를 만족하는 $a$값 중 10번째로 작은 값을 찾기 위해 가장 작은 값부터 차례로 생각해 보자.

소인수$2,5$의 지수가 ${\color{#dc143c}\text{홀수}}$이므로 $a$값은 $2,5$를 소인수로 반드시 가지고 있어야 한다. 따라서 $\color{#dc143c}a$ 는 다음과 같이 표현 할 수 있다.

$\begin{align}2&^{\color{#dc143c}3}\times3^2\times5^{\color{#dc143c}1}\times {\color{#dc143c}2\times5\times\square}\\[2em]
&=2^{\color{#dc143c}4}\times 3^2\times 5^{\color{#dc143c}2}\times{\color{#dc143c}\square}\\[2em]
&=\text{(제곱수)}\end{align}$

위의 결과는 ${\color{#dc143c}\square}$의 값에 따라 크기가 결정된다. 최종적으로 지수가 짝수인 제곱수가 되려면, 필연적으로 ${\color{#dc143c}\square}$는 소인수분해 결과 지수가 짝수가 되어야 한다.

따라서 ${\color{#dc143c}\square}$는 제곱수가 되어야 한다. 제곱수를 작은 순서대로 생각하면 $1^2, 2^2, 3^2,\cdots$이고, 10 번째로 작은 값은 ${\color{#dc143c}\square}=10^2$이다.

따라서 $a=2\times5\times{\color{#dc143c}\square}=2\times5\times10^2=1000$이다.

약수의 개수

약수의 개수 공식

자연수 $l,m,n$과 소수$p,q,r$에 대하여 $N=p^l\times q^m\times r^n$로 소인수 분해 될때 $N$의 약수의 개수는 다음과 같다.

$p^l\times q^m\times r^n$의 약수의 개수:
$(l+1)(m+1)(n+1)$

소인수의 개수가 늘어나도 약수의 개수는 $\bbox[#ffff00]{\text{(지수+1)} \text{의 곱}}$으로 나타낼 수 있다.

약수의 개수 문제

[1] $50$ 이하의 자연수 중 약수의 개수가 $6$개인 자연수의 개수를 구하기.

약수의 개수는 $\bbox[#ffff00]{({\color{#dc143c}\text{지수}}+1) \text{ 의 곱}}$이다. 약수의 개수로 $6$이 나오는 경우를 생각하면 다음 두 가지 경우 뿐이다.

소인수가 1개: $6=({\color{#dc143c}5}+1)$
소인수가 2개: $6=2\times3=({\color{#dc143c}1}+1)\times({\color{#dc143c}2}+1)$

소인수가 1개인 경우

소인수가 $1$개이고 지수가 ${\color{#dc143c}5}$인 50이하의 자연수를 먼저 생각해 보면 $2^5$ 뿐임을 알 수 있다.

소인수가 2개인 경우

소인수가 $2$개이고 각 소인수의 지수가 $1,2$인 경우를 생각해 정리해 보자. 지수가 1인 소인수와 2인 소인수를 빠짐없이 고려하기 위해 2차원 분석 도구인 표를 이용해 보자.

소인수 2개	$2^2=4$	$3^2=9$	$5^2=25$	$7^2=49$
$2$	소인수1개	$\bbox[#94feff]{2\times9}$	$\bbox[#94feff]{2\times25}$	50 초과
$3$	$\bbox[#94feff]{3\times4}$	소인수1개	50 초과	50 초과
$5$	$\bbox[#94feff]{5\times4}$	$\bbox[#94feff]{5\times9}$	소인수1개	50 초과
$7$	$\bbox[#94feff]{7\times4}$	50 초과	50 초과	소인수1개
$11$	$\bbox[#94feff]{11\times4}$	50 초과	50 초과	50 초과
$13$	50 초과	50 초과	50 초과	50 초과

약수의 개수 심화 문제

결론

약수의 개수가 6개인 자연수의 개수는 소인수가 1개인 경우 1개 소인수가 2개인 경우 $\bbox[#94feff]{7}$개 총 8개 임을 알 수 있다.

자연수의 곱과 소인수 개수

[1] $1$~$10$까지 자연수의 곱 $N$에 대하여 $N$을 소인수분해한 결과를 구해아.

[풀이]

$N=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10$의 소인수는 $1$~$10$까지 소수이다. 따라서 $N=2^{\triangle}\times3^{\square}\times5^{\bigcirc}\times 7^{\heartsuit}$의 꼴로 소인수분해 된다. 이 때 각 소인수의 지수는 소인수가 곱해진 개수를 의미한다.

$\heartsuit \rightarrow 7\text{의 배수} :7\rightarrow1\text{개}$
$\bigcirc \rightarrow 5\text{의 배수}: 5,10\rightarrow2\text{개}\\[1em]$
$\square \rightarrow\begin{Bmatrix}3\text{의 배수}: 3,6,\bbox[#dcff8c]{9}\rightarrow3\text{개}\\[0.5em]
9\text{의 배수}: \qquad\bbox[#dcff8c]{9}\rightarrow1\text{개}\\
\end{Bmatrix}\rightarrow 4\text{개}\\[2em]$
$\triangle \rightarrow\begin{Bmatrix}2\text{의 배수}: 2,\bbox[#ffff00]{4},6,\bbox[#94feff]{8},10\rightarrow5\text{개}\\[0.5em]
4\text{의 배수}:\;\,\bbox[#ffff00]{4},\;\;\;\, \bbox[#94feff]{8}\quad \rightarrow2\text{개}\\[0.5em]
8\text{의 배수}: \qquad\;\bbox[#94feff]{8} \;\;\;\rightarrow1\text{개}\\[0.5em]
\end{Bmatrix}\rightarrow 8\text{개}$

따라서 $N=2^8\times3^4\times5^3\times7$이다.

소인수의 개수를 셀 때 배수로 묶어서 세는 방법을 잘 이해하길 바란다.

[2] $1$~$200$까지 자연수의 곱 $N$에 대하여 $N$이 $5^k(\text{k: 자연수})$로 나누어 떨어질 때 $k$의 최댓값을 구하여라.