이번 시간에는 인수와 소인수를 정의하고 소인수분해와 이를 간결하게 표현하기 위한 거듭제곱 표기법에 대해 학습해 보기로하자.
목차
인수와 소인수
약수와 인수
먼저 정의를 정리하고 인수에 대해 정리해 보자.
- 약수: 어떤 자연수를 나누어 떨어지게 하는 수
예를 들어 $12$는 $\{\color{black}{1},\color{blue}{2},\color{red}{3},\color{red}{4},\color{blue}{6},\color{black}{12}\}$로 나누어 떨어지고 이를 12의 약수라고 할 수 있다.
$12$를 나누어 떨어지는 수를 이용해 $12$를 곱으로 표현하면 다음과 같다.
- $12=1\times12$, $12=2\times6$, $12=3\times4$
두 자연수를 곱해서 $12$일 떄, 구성하는 각 자연수를 ‘$12$의 인수’라고 한다. 위의 식으로 부터 $12$의 인수를 구하면 다음과 같다.
- $12$의 인수: $\{1,12,2,4,3,4\}$
따라서 자연수($\square$)에 대한 다음 표현은 정의는 다르지만, 그 결과가 일치한다.
‘$\square$에 대한 약수’$=$’$\square$의 인수’
인수 정의
중학교 1학년 에서 인수는 문자를 배우기 전에 다음과 같이 학습한다.
세 자연수 $\bigstar, \triangle, \square$에 대하여
- $\bigstar =\triangle \times \square$을 만족하면,
$\triangle, \square$ : $\bigstar$ 의 $\color{red}{\text{인수}}$라고 한다.
문자와 식을 배우면 다음과 같이 정리할 수 있다.
세 식(수) $A, B, C$에 대하여
- $A=B \times C$ 를 만족하면,
$B,C$ : $A$의 인수라고 한다.
소인수
위의 정의로부터 $12$의 인수는 ${1,2,3,4,6,12}$라고 할 수 있다. 소인수는 인수중에 소수인 수를 의미하고 따라서 $12$의 소인수는 $2,3$이다. 소인수 다음과 같이 정리해 두자.
소인수 정의
- $A$의 소인수 : $A$의 인수 중에 ${\color{blue}\text{소수}}$인 ${\color{blue}\text{인수}}$
소인수분해와 방법
소인수분해
수학에서 ‘분해’ 주어진 수나 식을 곱셈을 이용해 나타내는 것을 의미한다. $12$를 최대한 작은 수의 곱으로 분해하는 것을 생각해 보자.
$12=2 \times \color{blue}{6}$
$1$과 자신을 곱하는 것은 무의미 하므로 $2$는 더 이상 분해할 수 없지만 $\color{blue}{6}=2\times 3$으로 분해 될 수 있다.
$12=2\times \color{blue}{2\times 3}$
이제 더 이상 분해 할 수 없고 그 이유는 인수 $2,3$이 소수이기 때문이다. 이와 같이 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수 분해 라고 한다.
소인수분해 정의
- $1$보다 큰 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것
소인수분해 하는 방법
이제 소인수분해 하는 세 가지 방법(식정리, 트리, 나눗셈)에 대해 학습해 보기로 하자.
식정리
식을 정리를 이용하면 $210$은 다음과 같이 소인수들의 곱으로 나타낼 수 있다.
$\begin{align}210&=\color{blue}{21}\color{black}{\times}\color{red}{10}\\
&=\color{blue}{(3 \times 7)}\color{black}{\times}\color{red}{(2\times5)}\\
\end{align}$
$\therefore\; 210=2\times 3 \times 5\times 7$
트리를 이용 하는 방법
나무의 가지 끝이 $\color{red}{\text{소수}}$가 될 때 까지 분해
$\begin{array}{c}210\\[-1em]
\swarrow\;\;\searrow\\[-1em]
\color{red}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\color{black}{70}\\[-1em]
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\swarrow \; \searrow\\[-1em]
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\color{red}{7}\;\;\;\;\;\;\color{black}{10}\\[-1em]
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\swarrow \; \searrow\\[-1em]
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\color{red}2\;\;\;\;\;\;\;5
\end{array}$
$\therefore\; 210=2\times 3 \times 5\times 7$
다른 방법으로 하더라도 동일한 결과를 얻을 수 있다.
$\begin{array}{c}210\\[-1em]
\swarrow\;\;\searrow\\[-1em]
10\;\;\;\;\;\;\;\;21\\[-1em]
\swarrow \searrow \;\;\;\;\;\;\swarrow \searrow\\[-1em]
\color{red}{2\;\;\;\;\;\;5\;\;\;\;\;3\;\;\;\;\;\;7}
\end{array}$
$\therefore\; 210=2\times 3 \times 5\times 7$
나눗셈(내림셈)을 이용하는 방법
$\color{red}{\text {소수}}$ 만으로 나누는 내림셈을 이용하여 소인수분해를 하는 과정은 다음과 같다.
$\begin{array}{r}
\color{red}{2} \color{black}{|\underline{210}}\\
\color{red}{3} \color{black}{|\underline{105}}\\
\color{red}{5} \color{black}{|\underline{\;\;35}}\\
\color{red}{7}
\end{array}$
$\therefore\; 210=2\times 3 \times 5\times 7$
내림셈과 식정리를 동시에 이용하면 다음과 같이 소인수분해를 더 빠르고 정확하게 할 수 있다.
$\begin{array}{r}
{\color{blue}2\times5}\leftarrow\color{red}{10} \color{black}{|\underline{210}}\\
{\color{blue}3\times7}\leftarrow\color{red}{21}
\end{array}$
$\therefore\; 210=2\times 3 \times 5\times 7$
거듭제곱
소인수분해의 결과에서 처럼 같은 수를 거듭해서 곱하는 경우 ‘같은수가 몇 번 곱해진 수’인지 표현하면 더 정확하고 빠르게 수학적으로 소통할 수 있다.
거듭제곱 정의
같은 수나 문자를 여러번 곱한 식을 다음과 같이 나타내고 $\color{red}{\text{거듭제곱}}$이라고 한다.
$\overbrace{\color{blue}{a\times a\times\cdots\times a}}^{\color{red}{\text{n 번}}}=\begin{align}&\\[-2em] &\color{blue}{a}^{\color{red}{n\text{→지수}}}\\[-1em]
&\;\color{blue}{\text{⤷밑}}
\end{align}$
- $a^n$: $a$의 $n$제곱근 이라 읽는다.
소인수분해를 거듭제곱으로 나타내기
$60$을 소인수 분해한 결과는 다음과 같이 거듭제곱으로 나타낼 수 있다.
$60=\overbrace{{\color{blue}2\times 2}}^{\color{red}{\text{2번}}} \times 3\times 5={\color{blue}2}^{\color{red}2}\times 3 \times 5$
추가로 $72$를 소인수분해하여 거듭제곱으로 나타내는 과정을 살펴보자.
- 내림셈과 식정리 $\rightarrow$ $\color{blue}\text{소인수}$ 곱 표현
- 거듭제곱을 이용해 식을 정리
$\begin{array}{r}
{\color{blue}2\times2\times 2}\leftarrow\color{red}{8} \color{black}{|\underline{72}}\\
{\color{blue}3\times3}\leftarrow\color{red}{9}
\end{array}$
$72=\overbrace{\color{blue}2\times 2\times 2}^{\color{red}\text {3번}}\times \overbrace{\color{blue}3\times 3}^{\color{red}\text{2번}}={\color{blue}2}^{\color{red}3}\times {\color{blue}3}^{\color{red}2}$
거듭제곱을 이용한 식정리
자연수의 거듭제곱 표현
$2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 5\times 5=2^4\times 3 \times 5^2$
분수의 거듭제곱 표현
$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\times 1\times 1}{3\times 3\times 3}=\dfrac{1^3}{3^3}=\dfrac{1}{3^3}$
$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3^2 \times 5^3}$
$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} =\dfrac{3^2}{5^2}$
$\dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} =\dfrac{7^3 \times 3^2}{2^3\times 5^2}$
소수의 거듭제곱 성질
$0.1^2=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0.01$
$0.1^3=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{1000}=0.001$
$0.1^4=\dfrac{1}{10^4}=\dfrac{1}{10000}=0.0001$
$\cdots$
$0.1$의 경우 거듭제곱을 할수록 수가 작아진다. $0.1$의 은 왜 거듭제곱을 할 수록 작아지는 것일까?
거듭제곱의 성질
다양한 수를 거듭제곱 하면 다음과 같은 성질을 알 수 있다.
- $0,1$은 거듭제곱을 해도 자신이다.
- $1$보다 큰 수는 거듭제곱 할 수록 커진다.
- $0$과 $1$사이의 수는 거듭제곱 할 수록 작아진다.
정확히 말하면 0에 가까워 진다. - $-1$은 거듭제곱하면 $+1,-1$이 번갈아 나온다.
- $-1$과 $0$사이의 수는 거듭제곱하면 $+,-$부호가 번갈아 나온고 절댓값은 점점 작아진다. 정확히 말하면 0에 가까워 진다.
- $-1$보다 작은 수는 $+,-$부호가 번갈아 나온고 절댓값은 점점 커진다.
세 번째 사실에 대해 예를 들어 더 자세히 살펴보자.
- $1$보다 작은 수는 거듭제곱 할 수록 작아진다.
$\dfrac{1}{2}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3>\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \cdots$
중학생 수준에서는 거듭제곱 할 수록 분모의 거듭제곱과 분자의 거듭제곱의 차이는 점점 커지기 때문이라고 정당화 할 수있다.
거듭제곱 성질 증명
위의 성질을 수학적으로 표현하고 이를 증명해 보기로 하자.
- $0<a<1$일 때 자연수 $n$에 대하여
$a^n>a^{n+1}$ 이 성립한다.
모든 자연수 $n$에 대해 성립함을 보이기 위해 수학적귀납법을 사용하자.
[증명]
$n=1\text{일 때}$
$a-a^2={\color{blue}a(1-a)>0}$ 이고
($\color{blue}{\because a>0, \;1-a>0}$)
따라서 $a>a^2$이 성립한다.
$n=k\text{일 때}\;\; {\color{red}a^k>a^{k+1}} \text{성립 한다면}$
$n=k+1\text{일 때}$ 다음과 같은 이유로 성립한다.
$a^{k+1}-a^{k+2}=a({\color{red}a^k-a^{k+1}})>0$ 이고,
$a^{k+1}>a^{k+2}$이다.
$\therefore$ $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a^n>a^{n+1}$ 이 성립한다.$_{\square}$
여기까지 소인수 분해에 대한 정리를 마무리 하도록 하겠습니다.