직선의 방정식의 표준형과 일반형

직선의 방정식은 기울기와 절편, 직선이 지나는 점의 좌표 등을 이용하여 구할 수 있으며, 상황에 따라 표준형과 일반형으로 나타낼 수 있습니다. 이번 글에서는 직선의 방정식의 표준형과 일반형의 차이를 알아보고, 주어진 조건에 따라 직선의 방정식을 구하는 공식과 유도 과정을 예제와 함께 살펴보겠습니다.

직선의 방정식의 표준형

$y=mx+n$의 꼴의 방정식을 직선의 방정식의 표준형이라 합니다. ($y=mx+n$는 $m\ne0$인 일차함수와 구별해서 정리해야 합니다.)

직선의 방정식의 표준형 $y=mx+n$에서 $m=0$이면 $y=n$인 $x$축에 평행인 직선을 표현할 수 있습니다. 하지만, 이차함수의 축과 같이 $y$축에 평행인 $x=3$과 같은 직선을 표현할 수 없습니다. 일차함수와 좌표축에 평행한 직선에 대한 설명은 중학교 직선의 방정식을 참고해 주세요.

직선의 방정식의 일반형

방정식 $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$)은 좌표평면의 모든 직선을 표현할 수 있고, 반대로 좌표평면의 모든 직선은 $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$)로 나타낼 수 있습니다. 이를 직선의 방정식의 일반형이라고 합니다.

• $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$) $\Longleftrightarrow$ 좌표평면의 직선

고등학교에서는 중학교에서 다룬 직선의 방정식을 더 엄밀하게 구분해서 정리해야 합니다.

설명

$(\Longrightarrow)$
$x$, $y$에 대한 일차방정식 $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$)이 나타내는 도형

1. $a\ne0$, $b\ne0$이면 $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$이므로 기울기가 $-\dfrac{a}{b}$, $y$절편이 $-\dfrac{c}{b}$인 직선이다.
2. $a\ne0$, $b=0$이면 $ax+c=0$, 즉 $x=-\dfrac{c}{a}$이므로 $y$축에 평행한 직선이다.
3. $a=0$, $b\ne0$이면 $by+c=0$, 즉 $y=-\dfrac{c}{b}$이므로 $x$축에 평행한 직선이다.

따라서 $x$, $y$에 대한 일차방정식 $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$)이 나타내는 도형은 항상 직선이다.

$(\Longleftarrow)$

좌표평면의 임의의 직선에 대해 위의 두 점 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)에 대해 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$의 값을 다음과 같이 구분할 수 있습니다.

1. $(x_2-x_1)\ne0$: 기울기 $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$이 존재하고 $y=mx+n$꼴로 나타낼 수 있고, 일반형으로 표현하면 $mx-y+n=0$입니다.
2. $(x_2-x_1)=0$: 기울기 $m$을 계산할 수 없고 $x_1=x_2$이므로 $y$축에 평행한 직선 $x=p$꼴로 나타낼 수 있고, 일반형으로 표현하면 $x-p=0$입니다.

따라서 좌표평면의 모든 직선은 $ax+by+c=0$ ($a\ne0$ 또는 $b\ne0$)로 표현할 수 있습니다.

---

다음 일차방정식이 나타내는 도형을 좌표평면 위에 그려봅시다.

1. $2x+y+1=0$
2. $3x-6=0$

설명

⑴ $2x+y+1=0$ — 그래프의 $x$절편은 $-\dfrac{1}{2}$, $y$절편은 $-1$이다.

⑵ $3x-6=0$ — 그래프는 $x=2$인 직선이다.

주어진 조건에 따라 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해 정리해 봅시다.

직선의 방정식 구하기

1. 기울기와 $y$절편: 기울기가 $m$이고 $y$절편이 $n$인 직선의 방정식은 $y=mx+n$
2. 기울기와 한 점: 점 $(x_1,y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y-y_1=m(x-x_1)$
3. 서로 다른 두 점: 서로 다른 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$를 지나는 직선의 방정식은
   • $x_1\ne x_2$일 때, $y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
   • $x_1=x_2$일 때, $x=x_1$
4. $x$절편과 $y$절편: $x$절편이 $a$, $y$절편이 $b$인 직선의 방정식은 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ (단, $a\ne0$, $b\ne0$)

기울기와 $y$절편이 주어진 경우는 당연하기 때문에 나머지에 대해 살펴봅시다.

2 설명

점 $A(x_1,y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식

구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n\cdots\text{㉠}$ 이라 하면

직선 ㉠이 점 $A(x_1,y_1)$을 지나므로

$y_1=mx_1+n$이고, $n=y_1-mx_1$이다.

이것을 ㉠에 대입하면 $y=mx+y_1-mx_1$

$\therefore y-y_1=m(x-x_1)$

3 설명

서로 다른 두 점 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$를 지나는 직선의 방정식

① $x_1\ne x_2$일 때,

두 점 $A$, $B$를 지나는 직선의 기울기 $m$은

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

이고 이 직선은 점 $A(x_1,y_1)$을 지나므로

$y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

② $x_1=x_2$일 때,

직선 $AB$는 $y$축에 평행하고 직선 위의 모든 점의 $x$좌표는 $x_1$이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은

$x=x_1$

4 설명

$x$절편이 $a$이고 $y$절편이 $b$인 직선의 방정식 (단, $a\ne0$, $b\ne0$)

직선이 두 점 $(a,0)$, $(0,b)$를 지나므로

$y-0=\dfrac{b-0}{0-a}(x-a)$

$\therefore \dfrac{b}{a}x+y=b$

양변을 $b$로 나누면

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

---

다음 직선의 방정식을 구해봅시다.

1. 기울기가 $-3$이고 $y$절편이 $5$인 직선
2. 기울기가 $5$이고 점 $(4,-6)$을 지나는 직선
3. 두 점 $(1,-3)$, $(2,-5)$를 지나는 직선
4. $x$절편이 $2$, $y$절편이 $-4$인 직선

설명

⑴ $y=-3x+5$

⑵ $y-(-6)=5(x-4)$

$\therefore y=5x-26$

⑶ $y-(-3)=\dfrac{-5-(-3)}{2-1}(x-1)$

$\therefore y=-2x-1$

⑷ $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-4}=1$

$\therefore y=2x-4$

---

직선의 방정식을 구할 때에는 주어진 조건에 맞는 공식을 선택하는 것이 중요합니다. 특히 $y=mx+n$의 꼴로 나타낼 수 없는 직선도 있으므로, 표준형과 일반형의 차이를 이해하고 좌표축에 평행한 직선까지 구분하여 정리해야 합니다.