삼각형의 무게중심의 좌표

오른쪽 그림과 같이 세 점 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하면

$M\left(\dfrac{x_2+x_3}{2},\ \dfrac{y_2+y_3}{2}\right)$

이때 무게중심 $G(x,y)$는 선분 $AM$을 $2:1$로 내분하는 점이므로

$x=\dfrac{2\times\dfrac{x_2+x_3}{2}+x_1}{2+1}=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad y=\dfrac{2\times\dfrac{y_2+y_3}{2}+y_1}{2+1}=\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}$

$\left(\dfrac{1+0+(-4)}{3},\ \dfrac{2+4+3}{3}\right)$, 즉 $(-1,3)$

오른쪽 그림과 같이 삼각형 $ABC$의 세 변 $AB$, $BC$, $CA$를 각각 $m:n$ $(m>0,\ n>0)$으로 내분하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 이 세 점의 $x$좌표를 각각 구하면

$\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\quad \dfrac{mx_3+nx_2}{m+n},\quad \dfrac{mx_1+nx_3}{m+n}$

이므로 삼각형 $DEF$의 무게중심의 $x$좌표는

$\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}+\dfrac{mx_3+nx_2}{m+n}+\dfrac{mx_1+nx_3}{m+n}\right)=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$

즉, 삼각형 $DEF$의 무게중심의 $x$좌표는 삼각형 $ABC$의 무게중심의 $x$좌표와 일치한다.

같은 방법으로 삼각형 $DEF$의 무게중심의 $y$좌표를 구하면 삼각형 $ABC$의 무게중심의 $y$좌표와 일치한다.

따라서 삼각형 $DEF$의 무게중심은 삼각형 $ABC$의 무게중심과 일치한다.

삼각형 $ABC$의 세 꼭짓점의 좌표를 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$라 하고, 임의의 점 $P$의 좌표를 $(x,y)$라 하겠습니다.

두 점 사이의 거리 공식에 의해

$\overline{AP}^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2$

$\overline{BP}^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2$

$\overline{CP}^2=(x-x_3)^2+(y-y_3)^2$

이므로 세 식을 더하여 정리하면

$\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2=3x^2-2(x_1+x_2+x_3)x+3y^2-2(y_1+y_2+y_3)y+(x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2)$

입니다.

여기서 $u=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$, $v=\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}$으로 놓고 완전제곱식으로 변형하면

$\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2=3(x-u)^2+3(y-v)^2+k$

입니다. 단, $k$는 $x$, $y$에 관계없는 상수입니다.

$(x-u)^2\geq0$, $(y-v)^2\geq0$이므로 주어진 식은 $x=u$, $y=v$일 때 최솟값 $k$를 갖습니다.

따라서 최솟값을 갖도록 하는 점 $P$의 좌표는 $(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3})$입니다.

그런데 이 좌표는 삼각형 $ABC$의 무게중심의 좌표와 일치합니다.

그러므로 $\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2$의 값이 최소가 되도록 하는 점 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심입니다.

삼각형 $ABC$의 무게중심을 $G$라고 하면 무게중심의 성질에 의해 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$이 성립합니다.

임의의 점 $P$에 대하여 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\overline{AP}^2=|\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}|^2=\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{GA}$

마찬가지로

$\overline{BP}^2=\overline{PG}^2+\overline{GB}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{GB}$

$\overline{CP}^2=\overline{PG}^2+\overline{GC}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{GC}$

이 세 식을 변끼리 더하면

$\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$

여기서 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$이므로

$\boxed{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2}$

입니다.

이때 $\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2$는 삼각형 $ABC$가 정해지면 일정한 값이고, $3\overline{PG}^2\geq0$이므로 주어진 식은 $\overline{PG}=0$, 즉 $P=G$일 때 최소가 됩니다.

따라서 $\overline{AP}^2+\overline{BP}^2+\overline{CP}^2$의 값이 최소가 되도록 하는 점 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심입니다.

결론: 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합은 무게중심에서 최소가 되며, 그 최솟값은 $\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2$입니다.