절댓값이 포함된 일차부등식

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절댓값이 포함된 일차부등식은 절댓값을 수직선 위의 거리로 해석하거나, 절댓값 기호 안의 식의 부호가 달라지는 값을 기준으로 구간을 나누어 풀 수 있습니다. 절댓값의 성질을 바로 적용할 수 있는 기본 유형을 익히고, 절댓값 기호가 여러 개 포함된 경우에는 각 구간에서 절댓값을 없앤 뒤 해당 범위에 맞는 해를 선택하는 과정이 필요합니다. 이번 글에서는 두 가지 풀이 방법의 원리를 정리하고, 실제 예제를 통해 절댓값 부등식의 해를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.

절댓값이 포함된 일차부등식

절댓값 기호를 포함한 일차부등식은 절댓값의 성질을 이용하거나 구간을 나누어 풀 수 있습니다.

절댓값의 성질을 이용하여 풀기

$a>0$, $b>0$일 때, 절댓값의 성질을 이용하면 $|x|<a$, $|x|>a$, $a<|x|<b$꼴의 유형은 다음과 같이 변형하여 풀 수 있습니다.

  1. $|x|<a \;\Longrightarrow\; -a<x<a$
  2. $|x|>a \;\Longrightarrow\; x<-a$ 또는 $x>a$
  3. $a<|x|<b \;\Longrightarrow\; -b<x<-a$ 또는 $a<x<b$ (단, $a<b$)
설명
  1. $|x|<a$ ($a>0$)는 원점으로부터의 거리가 $a$보다 작은 $x$의 값의 범위이므로
    $-a<x<a$
  2. $|x|>a$ ($a>0$)는 원점으로부터의 거리가 $a$보다 큰 $x$의 값의 범위이므로
    $x<-a$ 또는 $x>a$
  3. $a<|x|<b$ ($0<a<b$)는 원점으로부터의 거리가 $a$보다 크고 $b$보다 작은 $x$의 값의 범위이므로
    $-b<x<-a$ 또는 $a<x<b$

구간을 나누어 풀기

$|x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x<0)\end{cases}$
$|x-a|=\begin{cases}x-a&(x\ge a)\\-(x-a)&(x<a)\end{cases}$를 이용하여 다음과 같은 순서로 푼다.

    1. 절댓값 기호 안의 식의 값이 $0$이 되는 $x$의 값을 기준으로 범위를 나눈다.
      • $|x-a|+|x-b|<c$ ($a<b$, $c>0$)의 꼴은 $x=a$, $x=b$를 기준으로 하여 다음과 같이 $x$의 값의 범위를 나누어 풀이합니다.
        ① $x<a$   ② $a\le x<b$   ③ $x\ge b$
    2. 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 해를 구한다.
      • 부등식의 해를 구할 때, 해당 범위에 속하는 것만 선택합니다.
    3. (2) 에서 구한 해를 합친 $x$의 값의 범위를 구한다.

    두 풀이 방법을 같은 부등식에 적용하면 절댓값의 성질을 이용하는 방법과 구간을 나누는 방법이 어떻게 연결되는지 확인해 봅시다.

    부등식 $|x-1|<2$를 두 가지 방법으로 풀어봅시다.

    절댓값의 성질을 이용한 풀이

    $|x-1|<2$에서 $-2<x-1<2$이므로 $-1<x<3$입니다.

    구간을 나누어 풀이

    절댓값이 0이 되는 값 $1$을 기준으로 $x<1$, $x\ge 1$로 나누어 풀이해 봅시다.

    1. $x-1<0$, $x<1$일 때, $-x+1<2$이고 따라서 $x>-1$ 입니다.
      • $x<1$일 때 $x>-1$이므로 $-1<x<1$
    2. $x-1\ge0$, 즉 $x\ge1$일 때, $x-1<2$이고 따라서 $x<3$입니다.
      • $x\ge1$이고 $x<3$이므로 $1\le x<3$

    (1), (2)에 의해 $-1<x<1$또는 $1\le x<3$이고 따라서 $-1<x<3$입니다.

    부등식 $|x+1|+|3-x|>6$을 풀어봅시다.

    풀이

    절댓값이 $0$이 되는 $x$값 $-1$, $3$을 기준으로 $x<-1$, $-1\le x<3$, $x\ge3$으로 나누어 생각해 봅시다.

    1. $x<-1$일 때, $|x+1|=-(x+1)$, $|3-x|=3-x$이므로 준식은 $-(x+1)+(3-x)>6$이고, $-2x>4$이므로 $x<-2$입니다.
      $x<-1$일 때 $x<-2$이므로 $x<-2$입니다.
    2. $-1\le x<3$일 때, $|x+1|=x+1$, $|3-x|=3-x$이므로 준식은 $(x+1)+(3-x)>6$이고, $0\times x>2$이므로 해는 없습니다.
    3. $x\ge3$일 때, 준식은 $|x+1|=x+1$, $|3-x|=-(3-x)$이므로 $x+1-(3-x)>6$이고, $2x>8$이므로 $x>4$입니다.
      $x\ge3$일때, $x>4$이므로 $x>4$입니다.

    (1)~(3)에서 주어진 부등식의 해는 $x<-2$또는 $x>4$입니다.

    절댓값 기호를 포함한 일차부등식은 식의 형태에 따라 풀이 방법을 적절하게 선택하는 것이 중요합니다. $|x|a$와 같은 기본적인 형태는 절댓값이 나타내는 거리의 의미를 이용하여 바로 변형할 수 있고, 절댓값 기호 안의 식이 여러 개 있는 경우에는 각 식이 $0$이 되는 값을 기준으로 구간을 나누어 풀이합니다. 구간별로 절댓값 기호를 없앤 뒤에는 구한 해가 처음 설정한 범위에 포함되는지 확인하고, 마지막에 각 구간에서 얻은 해를 합쳐 전체 해를 결정해야 합니다.