이차함수의 최대·최소를 구할 때 식에 같은 부분이 반복되거나 변수가 두 개 이상 포함되면, 먼저 식의 형태를 간단히 정리하는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 공통부분을 새로운 문자로 치환하는 방법, 두 변수의 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 방법, 주어진 조건식을 대입하여 한 문자에 대한 이차식으로 만드는 방법을 차례로 살펴보겠습니다.
이차함수의 최대 최소 응용
치환을 이용한 최대·최소
공통부분이 있으면 공통부분을 $t$로 치환하여 $t$에 대한 함수의 최댓값과 최솟값을 구한다. 이때 $t$의 값의 범위에 주의해야 합니다.
$-2\le x\le1$일 때, 함수 $y=(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)-3$의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 살펴봅시다.
설명
$x^2+2x=t$로 두면 $-2\le x\le1$에서 $t$의 범위는 다음과 같습니다.
$t=x^2+2x=(x+1)^2-1$에 대하여 $-2\le x\le1$이면 $-1\le t\le3$ (그림1)
따라서 주어진 함수는 $y=t^2+2t-3=(t+1)^2-4$ $(-1\le t\le3)$ 이므로 [그림 2]에서 최대 최소는 다음과 같습니다.
- $t=3$일 때 최댓값 $12$,
- $t=-1$일 때 최솟값 $-4$
공통부분을 치환할 때에는 원래 문자 $x$의 범위에서 새로운 문자 $t$의 범위를 정확히 구해야 합니다. 이번에는 두 변수가 포함된 이차식을 각각 완전제곱식으로 바꾸어 최대·최소를 구하는 방법을 살펴보겠습니다.
완전제곱식을 이용한 최데 최소
$x$, $y$가 실수인 $x$, $y$에 대한 이차식 $ax^2+by^2+cx+dy+e$의 최댓값 또는 최솟값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $x$, $y$에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 $a(x-m)^2+b(y-n)^2+k$ ($a$, $b$, $k$, $m$, $n$은 상수)의 꼴로 변형한 후 $(실수)^2\ge0$임을 이용
- 이때 $a>0$, $b>0$이면 최솟값 $k$를 갖고, $a<0$, $b<0$이면 최댓값 $k$를 갖는다.
$x$, $y$가 실수인 $x^2-4x+2y^2-12y+16$의 최솟값을 구하는 과정을 살펴봅시다.
설명
$x^2-4x+2y^2-12y+16=(x-2)^2+2(y-3)^2-6$이고, 이때 $x$, $y$가 실수이므로 $(x-2)^2\ge0$, $(y-3)^2\ge0$ 입니다. 따라서 준식은 $x=2$, $y=3$일 때 최솟값 $-6$을 갖습니다.
완전제곱식을 이용하면 각 제곱항이 $0$ 이상이라는 사실로부터 최대·최소를 판단할 수 있습니다. 두 변수 사이에 등식이 주어진 경우에는 그 조건을 대입하여 한 문자에 대한 이차식으로 바꾸어 계산할 수 있습니다.
대입을 이용한 최대·최소
주어진 등식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차식에 대입하여 한 문자에 대한 이차식으로 나타낸다. 이 식을 이용하여 이차식의 최댓값 또는 최솟값을 구합니다.
$y=x-3$을 만족시키는 실수 $x$, $y$에 대하여 $x^2+2y$의 최솟값을 구하는 과정을 정리해 봅시다.
설명
$y=x-3$을 $x^2+2y$에 대입하면 $x^2+2y=x^2+2(x-3)=x^2+2x-6=(x+1)^2-7$이므로 $x=-1$일 때 최솟값 $-7$을 갖는다.
공통부분이 있는 함수는 치환한 문자의 범위를 먼저 구하고, 두 변수에 대한 이차식은 완전제곱식으로 바꾸어 각 제곱항의 부호를 이용합니다. 또한 조건식이 주어지면 한 문자를 다른 문자로 나타내어 대입한 뒤 이차식의 최대·최소를 구할 수 있습니다. 문제의 식과 조건에 맞는 변형 방법을 선택하는 것이 중요합니다.