이차함수 $y=a(x-p)^2+q$는 $y=ax^2$의 그래프를 $x$축과 $y$축의 방향으로 평행이동한 표준형입니다. 이 식을 보면 꼭짓점의 위치와 축의 방정식을 바로 알 수 있고, 계수 $a$를 통해 포물선이 어느 방향으로 열리는지와 그래프의 폭도 판단할 수 있습니다.
이번 글에서는 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 $y=ax^2$에서 어떻게 평행이동되어 만들어지는지 정리하고, 그래프의 개형을 이용해 $a$, $p$, $q$의 부호를 판단하는 방법을 살펴보겠습니다. 또한 이차함수를 다시 평행이동하거나 $x$축, $y$축에 대칭이동할 때 식과 꼭짓점의 좌표가 어떻게 변하는지 알아보고, 이를 고등학교에서 배우는 도형의 방정식 $f(x,y)=0$의 평행이동과도 연결해 보겠습니다.
이차함수의 표준형
이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 꼴을 이차함수의 표준형이라고 합니다.
이차함수 $y=ax^2$을 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프의 성질은 다음과 같습니다.
- $y=ax^2$⇨$y=a(x-p)^2+q$
- 꼭짓점의 좌표: $(p,q)$
- 축의 방정식: $x=p$
이차함수 $y=ax^2$의 그래프를 $x$축, $y$축의 방향으로 평행이동하여도 그래프의 모양과 폭은 변하지 않습니다. 즉, $x^2$의 계수 $a$는 변하지 않습니다.
설명
$y=2x^2$을 $x$축의 방향으로 $7$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프를 예를들어 살펴봅시다.
녹색 그래프에서 $\color{#6b9377}x$의 좌표를 이용해 $\color{#6b9377}y$좌표를 구하는 식을 구하면 충분합니다.
- ${\color{#6b9377}y}={\color{#376de9}y}+5$입니다.
- ${\color{#376de9}y}$는 ${\color{#6b9377}x}-7$에서 $y=2x^2$의 함숫값과 같고 ${\color{#376de9}y}=({\color{#6b9377}x}-7)^2$
따라서 ${\color{#6b9377}y}={\color{#376de9}y}+5$는 ${\color{#6b9377}y}=({\color{#6b9377}x}-7)^2+5$로 나타낼 수 있습니다.
이차함수 $y=2(x-1)^2+3$을 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(1,3)$
- 축의 방정식: $x=1$
이차함수 $y=-3(x+2)^2-1$을 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=-3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-2$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(-2,-1)$
- 축의 방정식: $x=-2$
$y=ax^2$의 평행이동 정리
이차함수의 $x$축 평행이동과 $y$축 평행이동에 대한 관계는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$y=a(x-p)^2+q$그래프와 $a$, $p$, $q$의 부호
$y=a(x-p)^2+q$에서 $p$와 $q$는 꼭짓점 $(p,q)$의 위치를 나타내고, $a$는 포물선의 모양(위로 볼록, 아래로 볼록)을 결정합니다. 따라서 그래프의 개형만 보고도 $a$, $p$, $q$의 부호를 판단할 수 있습니다.
- $a$의 부호: 그래프의 모양에 따라 결정된다.
- 아래로 볼록(∪)하면 ⇨ $a>0$
- 위로 볼록(∩)하면 ⇨ $a<0$
- $p$, $q$의 부호: 꼭짓점의 위치에 따라 결정된다.
- 제1사분면 위에 있으면 ⇨ $p>0$, $q>0$
- 제2사분면 위에 있으면 ⇨ $p<0$, $q>0$
- 제3사분면 위에 있으면 ⇨ $p<0$, $q<0$
- 제4사분면 위에 있으면 ⇨ $p>0$, $q<0$
이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, $a$, $p$, $q$의 부호를 결정해 봅시다.
설명
그래프의 모양이 아래로 볼록(∪)하므로 $a>0$이고, 꼭짓점 $(p,q)$가 제4사분면 위에 있으므로 $p>0$, $q<0$입니다.
$a$, $p$, $q$의 부호를 정하는 방법을 알았다면, 이제는 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프 자체를 다시 평행이동할 때 식과 꼭짓점이 어떻게 변하는지 정리해 봅시다.
$y=a(x-p)^2+q$의 평행이동
이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $n$만큼 평행이동 함수는 다음과 같습니다.
- $y=a(x-p)^2+q$ ⇨ $y=a\{(x-m)-p\}^2+q+n$
- 꼭짓점의 좌표: $(p,q)\rightarrow(p+m,q+n)$
쉬운설명
이차함수의 표준형 관계식 $y=a(x-p)^2+q$에서 상수$a$, $p$, $q$는 다음과 같은 의미를 갖습니다.
- $a$: 그래프 모양 결정
- $p$, $q$ 꼭짓점 좌표 결정
따라서 이차함수는 그래프 모양을 결정하는 $a$ 값과 꼭짓점을 알면 바로 수식 결정할 수 있음을 알 수 있습니다.
$y=a(x-p)^2+q$를 다시 $x$축으로 $m$ 만큼 $y$축으로 $n$만큼 평행이동 시키면 그래프의 모양은 같고 꼭짓점만 이동하게 됩니다.
- $a$는 일정
- 꼭짓점: $(p,q)$에서 $(p+m,q+n)$로 이동
따라서 평행이동한 이차함수는 $y=a\{(x-(m+p)\}^2+q+n$이 됩니다.
설명 2
- 주어진 함수 $y=f(x)$, $f(x)=a(x-p)^2+q$
- $y=f(x)$를 $x$축으로 평행이동: $\color{blue}y=g(x)$
- $\color{blue}y=g(x)$를 $y$축으로 $n$만큼 평행이동: $\color{red}y=h(x)$
$\color{blue}g(x)$ 구하기
$x$축 $m$만큼 평행이동한 함수에 대하여, 평행이동 전 함숫값(높이)과 평행이동 후 함숫값(높이)이 같기 때문에 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
$\color{blue}x$에서 함숫값 $\color{blue}g(x)$는 $\color{blue}x$을 평행이동 하기 전 함수인 $f(x)$의 ${\color{blue}x}-m$에서 함숫값과 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다.
- $\color{blue}g(x)$는 $f({\color{blue}x}-m)$
- ${\color{blue}g(x)}=a\l{\bbox[#ffff00]{({\color{red}x}-m)}-p\r}^2+q$
$\color{red}h(x)$ 구하기
$y$축으로 $n$만큼 평행이동한 함수에 대하여, 평행이동 전 함숫값(높이)에 $n$만 더해주면 됩니다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- ${\color{red}h(x)}={\color{blue}g(x)}+n$
- ${\color{red}h(x)}={\color{blue}a\l{(x-m)-p\r}^2+q}+n$
$y=a(x-p)^2+q$의 대칭이동
$x$축 대칭이동
이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프를 $x$축에 대칭이동할 때는 $y$ 대신 $-y$를 대입하여 다음과 같이 정리합니다.
- 이차함수의 식:
$y=a(x-p)^2+q$
⇨ $-y=a(x-p)^2+q$
즉, $y=-a(x-p)^2-q$ - 꼭짓점의 좌표: $(p,q)\rightarrow(p,-q)$
$y$축 대칭이동
이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프를 $y$축에 대칭이동할 때는 $x$ 대신 $-x$를 대입하여 다음과 같이 정리합니다.
- 이차함수의 식:
$y=a(x-p)^2+q$
⇨ $y=a(-x-p)^2+q$
즉, $y=a(x+p)^2+q$ - 꼭짓점의 좌표: $(p,q)\rightarrow(-p,q)$
도형의 평행이동 (고등)
좌표평면 위의 도형의 방정식이 $f(x,y)=0$를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 도형의 방정식은 다음과 같습니다.
- $f(x-p,y-q)=0$
$y=ax^2$을 $x$축으로 $p$, $y$축으로 $q$만큼 평행이동한 방정식을 구해 봅시다.
설명
$y=ax^2$에 $x \longrightarrow x-p$, $y\longrightarrow y-q$를 대입하여 구할 수 있습니다.
- $y=a(x-p)^2+q$
$y=a(x-p)^2+q$를 $x$축으로 $m$, $y$축으로 $n$만큼 평행이동한 방정식을 구해봅시다.
설명
도형의 방정식도 $x \longrightarrow x-m$, $y\longrightarrow y-n$를 대입하여 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $y=a\{(x-m)-p\}^2+q+n$
평행이동에서는 꼭짓점이 이동한 만큼 좌표가 바뀝니다. 이와 달리 대칭이동에서는 어떤 축에 대칭시키는지에 따라 $x$좌표 또는 $y$좌표의 부호가 바뀝니다.
이번 글에서는 이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프를 $y=ax^2$의 평행이동으로 이해하고, 꼭짓점 $(p,q)$와 축의 방정식 $x=p$가 이동한 거리와 어떻게 연결되는지 정리했습니다. 또한 그래프의 모양으로 $a$의 부호를, 꼭짓점이 위치한 사분면을 이용해 $p$, $q$의 부호를 판단하는 방법도 살펴보았습니다.
평행이동에서는 그래프의 모양과 폭은 그대로 유지한 채 꼭짓점의 위치가 이동하고, 대칭이동에서는 대칭축에 따라 좌표의 부호가 바뀝니다. 이러한 변화는 단순히 공식을 외우기보다 $x$와 $y$에 어떤 식을 대입하는지 이해하면 훨씬 자연스럽게 정리할 수 있습니다.
특히 고등학교에서는 좌표평면의 도형을 $f(x,y)=0$의 꼴로 나타내고, 이를 $(p,q)$만큼 평행이동할 때 $f(x-p,y-q)=0$으로 표현합니다. 중학교에서 배우는 이차함수의 평행이동 역시 이 원리의 한 가지 경우이므로, 두 내용을 연결해 이해해 두면 이후 도형의 방정식 단원을 학습하는 데 도움이 됩니다.