다항식의 나눗셈은 자연수의 나눗셈과 비슷한 원리로 계산하지만, 각 항의 차수를 맞추고 몫과 나머지의 차수를 확인해야 한다는 점이 중요합니다. 다항식을 직접 나누어 몫과 나머지를 구하는 방법을 예제를 통해 정리해 보도록 합시다.
다항식의 나눗셈
다항식의 나눗셈
- (다항식)÷(단항식)의 계산
- $(a+b)\div m=(a+b)\times\dfrac{1}{m}=\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}$ (단, $m\ne0$)
- (다항식)÷(다항식)의 계산
- 각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나누어 몫과 나머지를 구합니다.
- 나머지가 상수가 되거나 (나머지의 차수)$<$ (나누는식의 차수)가 될 때 까지 나눈다.
- 계수가 $0$인 항의 자리를 비워둔다.
- 각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나누어 몫과 나머지를 구합니다.
예시
(다항식)$\div$ (단항식)은 다음과 같이 분수 또는 역수의 곱을 이용해 정리할 수 있습니다.
- $(4x^3-2x^2+6x)\div2x=\dfrac{4x^3}{2x}-\dfrac{2x^2}{2x}+\dfrac{6x}{2x}=2x^2-x+3$
(다항식)$\div$ (다항식)은 $(3x^2+8x+7)\div(x+2)$를 통해 살펴보겠습니다.
$(3x^2+8x+7)\div(x+2)$
직접 나눗셈
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}3x\phantom{^2}+2 \\ x+2\; &\enclose{longdiv}{3x^2+8x+7}\\ & \underline{\phantom{)} 3x^2+6x\phantom{{}+7}} \\ &\phantom{)3x^2+{}} 2x+7 \\ & \underline{\phantom{)3x^2+{}}2x+4\phantom{0}} \\ & \phantom{)3x^2+8x+{}}3 \end{array}$
계수만 이용
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}3\phantom{\;}2\\ 1\;\;2\; &\enclose{longdiv}{3\;\;8\;\;7}\\ &\underline{\phantom{)}3\;\;6\phantom{\;\;7}}\\ &\phantom{)3\;\;}2\;\;7\\ &\underline{\phantom{)3\;\;}2\;\;4}\\ &\phantom{)3\;\;8\;\;}3 \end{array}$
위의 결과를 통해 몫은 $3x+2$ 이고 나머지는 $3$임을 알 수 있습니다.
다항식을 다항식으로 나누는 과정을 예제를 통해 익히고 다음으로 넘어가 보겠습니다.
다항식의 나눗셈 예제
다항식의 나눗셈에서는 각 다항식을 차수에 맞게 정리한 뒤 자연수의 나눗셈과 같은 원리로 계산합니다. 이번에는 여러 형태의 다항식을 직접 나누어 몫과 나머지를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.
다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하시오.
⑴ $(4x^2-2x+3)\div(2x+1)$
풀이
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}2x-2\\ 2x+1\; &\enclose{longdiv}{4x^2-2x+3}\\ &\underline{\phantom{)}4x^2+2x\phantom{{}+3}}\\ &\phantom{)4x^2}-4x+3\\ &\underline{\phantom{)4x^2}-4x-2}\\ &\phantom{)4x^2-2x+}5 \end{array}$
∴ 몫: $2x-2$, 나머지: $5$
⑵ $(-3x^3+7x^2-6x-5)\div(-x+3)$
풀이
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}3x^2+2x+12\\ -x+3\; &\enclose{longdiv}{-3x^3+7x^2-6x-5}\\ &\underline{\phantom{)}-3x^3+9x^2\phantom{-6x-5}}\\ &\phantom{)-3x^3}-2x^2-6x\phantom{{}-5}\\ &\underline{\phantom{)-3x^3}-2x^2+6x\phantom{{}-5}}\\ &\phantom{)-3x^3+7x^2}-12x-5\\ &\underline{\phantom{)-3x^3+7x^2}-12x+36}\\ &\phantom{)-3x^3+7x^2-6x}-41 \end{array}$
∴ 몫: $3x^2+2x+12$, 나머지: $-41$
⑶ $(2x^3-9x^2+17x-3)\div(x^2+2)$
풀이
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}2x-9\\ x^2+2\; &\enclose{longdiv}{2x^3-9x^2+17x-3}\\ &\underline{\phantom{)}2x^3\phantom{{}-9x^2}+4x\phantom{{}-3}}\\ &\phantom{)2x^3}-9x^2+13x-3\\ &\underline{\phantom{)2x^3}-9x^2\phantom{{}+13x}-18}\\ &\phantom{)2x^3-9x^2+{}}13x+15 \end{array}$
∴ 몫: $2x-9$, 나머지: $13x+15$
⑷ $(x^4+3x^3-2x+6)\div(x^2-x+1)$
풀이
$\begin{array}{rl} &\phantom{)}x^2+4x+3\\ x^2-x+1\; &\enclose{longdiv}{x^4+3x^3\phantom{{}+0x^2}-2x+6}\\ &\underline{\phantom{)}x^4-x^3+x^2\phantom{{}-2x+6}}\\ &\phantom{)x^4+{}}4x^3-x^2-2x\phantom{{}+6}\\ &\underline{\phantom{)x^4+{}}4x^3-4x^2+4x\phantom{{}+6}}\\ &\phantom{)x^4+3x^3+{}}3x^2-6x+6\\ &\underline{\phantom{)x^4+3x^3+{}}3x^2-3x+3}\\ &\phantom{)x^4+3x^3+3x^2}-3x+3 \end{array}$
∴ 몫: $x^2+4x+3$, 나머지: $-3x+3$
직접 나눗셈에서는 나누어지는 식과 나누는 식을 내림차순으로 정리하고, 같은 차수의 항이 서로 맞도록 계산하는 것이 핵심입니다.
다항식의 나눗셈에 대한 등식
다항식 $A$를 다항식 $B$ $(B\ne0)$로 나누어 다음과 같이 정리할 때
- $A=BQ+R$ (단, $R$은 상수 또는 $(R의 차수)<(B의 차수)$)
$Q$를 몫, $R$을 나머지라고 하고, $R=0$, 즉 $A=BQ$이면 $A$는 $B$로 나누어떨어진다고 합니다. 그리고 차수에 대하여 다음이 성립합니다.
- $(A\text{의 차수})=(B\text{의 차수})+(Q\text{의 차수})$
▶ $Q$, $R$는 각각 quotient(몫), remainder(나머지)의 첫 글자를 따온 것이다.
예제
다항식 $f(x)$를 $2x-1$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+x-3$이고 나머지가 $5$일 때, 다항식 $f(x)$를 구하시오.
풀이
$f(x)=(2x-1)\times(\text{몫})+(\text{나머지})=(2x-1)(x^2+x-3)+5=2x^3+x^2-7x+8$
다항식의 나눗셈에서는 먼저 각 다항식을 내림차순으로 정리하고 차수를 맞추고 나머지($R(x)$)가 나누는 식의 차수보다 낮아질 때 까지 나누는 것이 핵심입니다.. 또한 $A=BQ+R$의 관계를 이해하면 몫과 나머지를 이용한 항등식을 만들 수 있습니다.