곱셈 공식을 기본 형태 그대로 사용하는 것뿐만 아니라, 주어진 조건에 맞게 변형하여 활용하는 것도 중요합니다. 이번에는 문자의 합과 곱이 주어졌을 때 자주 사용하는 곱셈 공식의 변형을 살펴보고, 각 식이 어떻게 만들어지는지 확인해 보겠습니다.
곱셈공식 변형
문자와 숫자의 합과 곱이 포함된 수식이 주어질 때 곱셈 공식의 변형을 이용하면 편리합니다.
- $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$
- $x^2+\dfrac{1}{x^2}$$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2$$=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2$
- $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$, $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$
- $x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
- $x^3-\dfrac{1}{x^3}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$
- $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$, $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
- $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-4$
- $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4$
- $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$
- $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\}$ - $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$
여기서 $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$
유도
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$에서 $2ab$를 이항하면
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
(2) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$에서 $3a^2b+3ab^2$을 이항하면
$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)$
(4) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$에서 $2ab+2bc+2ca$를 이항하면
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$
(5) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$=\dfrac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$
$=\dfrac{1}{2}\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\}$
$=\dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
다음으로 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$에 대한 식 다음과 같이 확장할 수 있습니다.
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$확장
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$은 홀수 차수에서 동일한 구조로 확장할 수 있습니다.
- $x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$
- $x^7+y^7=(x^3+y^3)(x^4+y^4)-x^3y^3(x+y)$
이제 곱셈 공식의 변형을 실제 값 계산에 어떻게 적용하는지 예를 통해 확인해 보겠습니다.
예제
$x+\dfrac{1}{x}=3$일 때 $x^2+\dfrac{1}{x^2}$와 $x^3+\dfrac{1}{x^3}$의 값을 구하여라.
풀이
- $x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=3^2-2=7$
- $x^3+\dfrac{1}{x^3}$$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$$=3^3-3\times3=18$
$a+b=3$, $ab=2$일 때, $a^3+b^3$의 값을 구하여라.
풀이
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=3^3-3\times2\times3=9$
곱셈 공식의 변형은 합과 곱의 값이 주어진 상황에서 필요한 식의 값을 직접 구할 수 있도록 해 줍니다. 기본 곱셈 공식에서 어떤 항을 이항하거나 묶어 내는지 이해하면 여러 형태의 식도 새로운 공식처럼 외우지 않고 자연스럽게 변형하여 사용할 수 있습니다.