삼각비의 활용을 통해 직접 자로 재지 않아도 각도와 변의 길이 하나만으로 나머지 변의 길이를 계산할 수 있습니다. 이를 이용하면 직각삼각형은 물론 일반 삼각형에서도 변의 길이와 높이를 구할 수 있습니다. 물론 이를 이용하면 다양한 도형의 넓이 또한 구할 수 있지만, 이번 시간에는 더 기본이 되는 삼각비를 활용한 길이 계산을 중점적으로 다루도록 하겠습니다.
직각삼각형에서 변의 길이 구하기
직각삼각형에서 한 예각의 크기와 한 변의 길이를 알면, 삼각비를 이용해 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있습니다. $\angle B = 90°$인 직각삼각형 $ABC$를 기준으로 살펴보겠습니다.
빗변의 길이를 알 때
$\angle A$의 크기와 빗변 $\overline{AC}$의 길이 $b$를 알 때는 다음과 같이 구합니다.
- $\sin A $$= \dfrac{a}{b} $$ \Rightarrow \; a = b \times \sin A$
- $\cos A $$= \dfrac{c}{b} $$ \Rightarrow \; c = b \times \cos A$
위의 과정도 중요하지만 다음과 같은 과정을 익혀두면 암산을 통해 바로 결과를 도출할 수 있습니다.
$b$를 이용해 $a$를 구하려면 $a=b\times \bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{b}}$를 이용할 수 있습니다. 여기서 $\bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{b}}$ 이 부분을 삼각비로 바꾸면 $\bbox[#ffff00]{\sin A}$입니다.
따라서 $\angle A$, $b$를 이용해 $c$와 $a$를 구하는 과정은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $a=b\times \bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{b}}=b \times \bbox[#ffff00]{\sin A}$
- $c=c\times \bbox[#dcff8d]{\dfrac{c}{b}}=b \times \bbox[#dcff8d]{\cos A}$
밑변의 길이를 알 때
$\angle A$의 크기와 변 $\overline{AB}$의 길이 $c$를 알 때는 다음과 같이 구합니다.
- $\tan A $$ = \dfrac{a}{c} $$ \Rightarrow \; a = c \times \tan A$
- $\cos A $$= \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{c}{b} $$ \Rightarrow \; b = c \times \dfrac{1}{\cos A}$
앞서 정리한 것과 비슷하게, $\angle A$, $c$를 이용해 $a$와 $b$를 구하는 과정은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $a=c\times \bbox[#ffff00]{\dfrac{a}{c}}=c \times \bbox[#ffff00]{\tan A}$
- $b=c\times \bbox[#dcff8d]{\dfrac{b}{c}}=c \times \bbox[#dcff8d]{\dfrac{1}{\cos A}}$
높이의 길이를 알 때
$\angle A$의 크기와 변 $\overline{BC}$의 길이 $a$를 알 때는 다음과 같이 구합니다.
- $\sin A $$= \dfrac{a}{b} $$ \Rightarrow \; b = a \times \dfrac{1}{\sin A}$
- $\tan A $$= \dfrac{a}{c} $$ \Rightarrow \; c = a \times \dfrac{1}{\tan A}$
앞서 정리한 것과 비슷하게, $\angle A$, $a$를 이용해 $b$와 $c$를 구하는 과정은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $b=a\times \bbox[#ffff00]{\dfrac{b}{a}}=c \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{\sin A}}$
- $c=a\times \bbox[#dcff8d]{\dfrac{c}{a}}=c \times \bbox[#dcff8d]{\dfrac{1}{\tan A}}$
예제로 확인하기
앞으로 삼각비의 활용에서 중요하게 사용될 공식이기 때문에 예제를 통해 정리하고 다음으로 넘어가 보겟습니다.
예제1
직각삼각형 $ABC$에서 $\angle B = 90°$, $\angle A = 60°$, 빗변 $\overline{AC} = 8$일 때, $\overline{BC}$와 $\overline{AB}$의 길이를 구하여라.
풀이
$\overline{AC}$와 $\angle A$를 이용해 $\overline{AB}$와$\overline{BC}$구하는 과정은 다음과 같습니다.
$\overline{AB}$$=\overline{AC} \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}}$$=8 \times \bbox[#ffff00]{\cos A}$$=8 \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{2}}$$=4$
$\overline{BC}$$=\overline{AC} \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}}$$=8 \times \bbox[#ffff00]{\sin A}$$=8 \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$=4\sqrt{3}$
예제2
직각삼각형 $ABC$에서 $\angle B = 90°$, $\angle A = 30°$, $\overline{BC} = 3$일 때, $\overline{AC}$와 $\overline{AB}$의 길이를 구하여라.
풀이
$\overline{BC}$와 $\angle A$를 이용해 $\overline{AB}$와$\overline{AC}$구하는 과정은 다음과 같습니다.
$\overline{AB}$$=\overline{BC} \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}}$$=3 \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{\tan A}}$$=3 \times \bbox[#ffff00]{\sqrt{3}}$$=3\sqrt{3}$
$\overline{AC}$$=\overline{BC} \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}}$$=3 \times \bbox[#ffff00]{\dfrac{1}{\sin A}}$$=3 \times \bbox[#ffff00]{2}$$=6$
일반 삼각형에서 변의 길이 구하기
SAS와 ASA조건이 주어진 경우 삼각형은 하나로 결정됩니다. 따라서 나머지 변의 길이도 하나로 결정되고 삼각비를 이용하면 나머지 변의 길이를 구할 수 있습니다.
두 변의 길이와 끼인각을 알 때
삼각형 $ABC$에서 두 변의 길이 $b$, $c$와 그 끼인각인 $\angle A$의 크기를 알면, 삼각비를 이용해면 나머지 한 변 $\overline{BC}$의 길이를 아래와 같이 구할 수 있습니다.
- $\overline{BC} = \sqrt{(b\sin A)^2 + (c – b\cos A)^2}$
증명
각 $a$의 삼각비를 이용하기 위해 꼭짓점 $C$에서 대변에 수선을 그어 두 개의 직각삼각형을 만들고 삼각비를 이용해 변의 길이를 표현하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
꼭짓점 $C$에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발 $H$에 대하여,
$\triangle{CAH}$에서 $\overline{CH} = b\sin A$, $\overline{AH} = b\cos A$이므로 $\overline{BH} = c – b\cos A$입니다.
따라서 $\triangle{CHB}$에 피타고라스 정리를 적용하면 $\overline{BC}$는 아래와 같이 구할 수 있습니다.
$\overline{BC} $$= \sqrt{\overline{CH}^2 + \overline{BH}^2} $$= \sqrt{(b\sin A)^2 + (c – b\cos A)^2}$
한 변의 길이와 양 끝 각을 알 때
삼각형 $ABC$에서 한 변의 길이 $c$와 그 양 끝 각인 $\angle A$, $\angle B$와 삼각비를 이용해 나머지 두 변 $\overline{AC}$, $\overline{BC}$의 길이를 표현하면 다음과 같습니다. (단, $\angle C = 180° – (\angle A + \angle B)$)
- $\overline{AC} = c\sin B \times \dfrac{1}{\sin C}$
- $\overline{BC} = c\sin A \times \dfrac{1}{\sin C}$
증명
두 각이 주어졌으므로 나머지 각도 알 수 있습니다. 따라서 $\overline{AB}$가 빗변이 되도록 보조선(수선)을 그려 나머지 변의 길이를 다음과 같이 구할 수 있습니다.
꼭짓점 $A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하고 $\triangle ABH$와 $\triangle ACH$에 삼각비를 적용하여 $\overline{AH}$의 길이를 정리하면 다음과 같습니다.
- $c\sin B = \overline{AC}\sin C$ ($\because \overline{AH}$의 길이)
따라서 $\overline{AC} = c\sin B \times \dfrac{1}{\sin C}$ 입니다.
마찬가지로 꼭짓점 $B$에서 $\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H’$라고 하면, $\triangle ABH’$와 $\triangle CBH’$에 대하여 삼각비를 적용해 $\overline{BH}$를 정리하면 다음과 같습니다.
- $c\sin A = \overline{BC}\sin C$ ( $\because \overline{BH}$의 길이)
$\overline{BC} = c\sin A \times \dfrac{1}{\sin C}$가 성립합니다.
삼각형의 높이 구하기
삼각형 $ABC$에서 한 변의 길이 $c$와 그 양 끝 각인 $\angle A$, $\angle B$의 크기를 알면, 탄젠트값을 이용해 삼각형의 높이 $h$를 구할 수 있습니다.
양 끝각이 모두 예각인 경우
한 변 $\overline{AB}$의 길이와 양 끝각 $\angle A$, $\angle B$가 예각으로 주어진 $\triangle ABC$에서 $C$의 대변에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때 $\overline{CH}=h$의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- $h = \dfrac{c}{\tan x + \tan y}$
단 $x = 90° – \angle A$, $y = 90° – \angle B$
증명
꼭짓점 $C$에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하고, $\overline{CH} = h$, $x = 90° – \angle A$, $y = 90° – \angle B$라고 하면 $\overline{AH}$, $\overline{BH}$는 다음과 같습니다.
- $\triangle CAH$에서 $\overline{AH} = h\tan x$
- $\triangle CBH$에서 $\overline{BH} = h\tan y$
$\overline{AB} = \overline{AH} + \overline{BH}$이므로
- $\bbox[#ffff00]{c} = h\tan x + h\tan y = \bbox[#ffff00]{h(\tan x + \tan y)}$
따라서 $h = \dfrac{c}{\tan x + \tan y}$이 성립합니다.
양 끝각 중 하나가 둔각인 경우
한 변 $\overline{AB}$의 길이와 양 끝각 $\angle A$, $\angle B$중 하나가 둔각으로 주어진 $\triangle ABC$에서 $C$에서 $\overline{AB}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때 $\overline{CH}=h$의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다. (둔각이 $\angle B$인 경우)
- $h = \dfrac{c}{\tan x – \tan y}$
단, $x = 90° – \angle A$, $y = 90° – \angle CBH$
증명
$\angle B$가 둔각일 때 꼭짓점 $C$에서 $\overline{AB}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$에 대하여,
$\overline{CH} = h$, $x = 90° – \angle A$, $y = 90° – \angle CBH$라고 하면 $\overline{AH}$, $\overline{BH}$는 다음과 같습니다.
- $\triangle CAH$에서 $\overline{AH} = h\tan x$
- $\triangle CBH$에서 $\overline{BH} = h\tan y$
$\overline{AB} = \overline{AH} – \overline{BH}$이므로
- $\bbox[#ffff00]{c} = h\tan x – h\tan y = \bbox[#ffff00]{h(\tan x – \tan y)}$
따라서 $h = \dfrac{c}{\tan x – \tan y}$가 성립합니다.
이렇게 직각삼각형과 일반 삼각형 모두에서 삼각비를 활용하면 변의 길이와 높이를 어렵지 않게 구할 수 있어요. 처음에는 공식이 낯설게 느껴질 수 있지만, 어떤 값을 알고 있는지 먼저 파악한 뒤 알맞은 삼각비를 골라 적용하는 연습을 반복하다 보면 자연스럽게 익숙해질 거예요. 다양한 예제를 직접 풀어보면서 감을 익혀보시길 바랍니다!