직각삼각형에서 한 예각의 크기가 $30°$, $45°$, $60°$일 때, 삼각비의 값은 삼각형의 크기와 상관없이 항상 일정한 값을 가집니다. 이러한 각을 특수각이라고 하며, 이번 글에서는 특수각의 삼각비 값이 어떻게 만들어지는지, 그리고 실제 값이 무엇인지 정리해 보겠습니다.
특수각의 삼각비 값이란?
$30°$, $45°$, $60°$는 정삼각형의 중선과 정사각형의 대각선을 이용해서 만들 수 있는 특별한 각입니다. 이 각들의 삼각비 값은 도형의 변의 길이 비율로부터 정확하게 구할 수 있어 특수각의 삼각비라고 부릅니다.
45도의 삼각비 값 구하기
한 변의 길이가 $1$인 정사각형에서 대각선을 그으면, 한 내각의 크기가 $45°$인 직각이등변삼각형 ABC를 얻을 수 있습니다.
이때 삼각형 ABC에 피타고라스 정리를 적용하면 세 변의 길이의 비가 $1:1: \sqrt{2}$가 됨을 알 수 있습니다.
따라서 $45°$의 삼각비의 값은 다음과 같습니다.
- $\sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan 45° = \dfrac{1}{1} = 1$
60도와 30도의 삼각비 값 구하기
한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하면, $\angle B = 60°$, $\angle BAD = 30°$인 직각삼각형 ABD를 얻을 수 있습니다.
선분 AD는 밑변 BC를 수직이등분하므로 $\overline{BD}=1$이고, ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 $\overline{AD}=\sqrt{3}$ 입니다.
따라서 $60°$의 삼각비의 값은 다음과 같습니다.
- $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
- $\tan 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
또 $30°$의 삼각비의 값은 다음과 같습니다.
- $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
- $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
이처럼 $30°$, $45°$, $60°$의 삼각비 값은 정사각형과 정삼각형의 변의 길이 비율에서 직접 유도되며, 직각삼각형 문제를 풀 때 가장 기본이 되는 값이므로 다음과 같이 표로 정리하여 꼭 암기해 두는 것이 좋습니다.
특수각의 삼각비표
| $30°$ | $45°$ | $60°$ | |
|---|---|---|---|
| $\sin A$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos A$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan A$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
표를 보면 각의 크기가 $30°$에서 $60°$로 커질수록 $\sin A$의 값은 증가하고, $\cos A$의 값은 감소하며, $\tan A$의 값은 증가하는 것을 알 수 있습니다.
삼각비 사이의 관계
- 사인과 코사인 사이 관계
- $\sin 30° = \cos 60°$
- $\sin 45° = \cos 45°$
- $\sin 60° = \cos 30°$
- 탄젠트 성질: $\tan 30° = \dfrac{1}{\tan 60°}$
삼각비 제곱 표기법
$(\sin A)^2$, $(\cos A)^2$, $(\tan A)^2$은 각각 $\sin^2 A$, $\cos^2 A$, $\tan^2 A$로 표기합니다.