삼각비의 개념과 정의

직각삼각형에는 아주 특별한 성질이 숨어 있습니다. 한 예각의 크기만 정해지면, 삼각형의 크기와 상관없이 두 변의 길이의 비가 항상 일정하게 유지된다는 것입니다. 이 성질을 삼각비라고 하며, 이를 이용하면 직접 재기 어려운 높이나 거리도 계산만으로 구할 수 있습니다.

이번 글에서는 삼각비의 세 가지 기본 개념인 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)가 각각 무엇을 의미하는지, 그리고 각의 크기가 같으면 왜 삼각형의 크기에 관계없이 삼각비의 값이 항상 일정한지 그 원리까지 예제와 함께 차근차근 정리해보겠습니다.

삼각비의 값은 왜 일정한가?

1. $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} = \dfrac{\overline{FG}}{\overline{AG}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{AI}} = \cdots$
2. $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AE}} = \dfrac{\overline{AF}}{\overline{AG}} = \dfrac{\overline{AH}}{\overline{AI}} = \cdots$
3. $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{FG}}{\overline{AF}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{AH}} = \cdots$

이 세 비율은 예각A가 같은 모든 직각삼각형에서 유지되는 값이므로 각 A에 대한 삼각비로 다음과 같이 정의 합니다.

삼각비 정의

직각삼각형에서 두 변의 길이의 비를 삼각비라고 하고 기준이되는 각 A를 중심으로 A에 대한 삼각비를 다음과 같이 약속하였습니다.

1. A의 사인: $\sin A $$= \dfrac{(\text{높이})}{(\text{빗변})} $
2. A의 코사인: $\cos A $$= \dfrac{(\text{밑변})}{(\text{빗변})} $
3. A의 탄젠트: $\tan A $$= \dfrac{(\text{높이})}{(\text{밑변})} $

이때 $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$를 통틀어 $\angle A$의 삼각비라고 하고, $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$에서 $A$는 $\angle A$의 크기를 의미합니다.

삼각비 정의

각 A에 대한 삼각비를 기호를 이용해 더 정확히 정의하면 다음과 같습니다.

$\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형 ABC에서 $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$의 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때 각 A에 대한 삼각비를 다음과 같이 정의합니다.

예제

풀이

$\sin A = \dfrac{3}{5}, \quad \cos A = \dfrac{4}{5}, \quad \tan A = \dfrac{3}{4}$
$\sin C = \dfrac{4}{5}, \quad \cos C = \dfrac{3}{5}, \quad \tan C = \dfrac{4}{3}$