제곱근의 곱셈과 나눗셈

제곱근을 배우다 보면 “근호끼리 어떻게 계산하지?”라는 의문이 생기기 마련입니다. 사실 제곱근의 곱셈과 나눗셈에는 명확한 규칙이 있어서, 그 원리만 이해하면 복잡해 보이는 식도 간단하게 정리할 수 있습니다.

이 글에서는 $ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ 와 같은 기본 곱셈 원리부터, 근호 안팎으로 수를 이동시키는 방법, 그리고 분모에 근호가 있을 때 유리수로 바꾸는 분모의 유리화까지 단계별로 설명합니다. 각 규칙마다 예시를 함께 제시하므로, 개념을 익히고 바로 문제에 적용하는 연습이 가능합니다.

중학교 수학에서 무리수를 처음 접하는 학생이라면 이 글 하나로 제곱근 연산의 핵심을 확실하게 잡아갈 수 있습니다.

제곱근의 곱셈

$ a \geq 0,\ b \geq 0 $이고 $ m,\ n $이 유리수일 때

근호 안의 수 끼리 곱한다.
$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} = \sqrt{ab} $
근호 밖과 안의 수 끼리 곱한다.
$ m\sqrt{a} \times n\sqrt{b} = mn\sqrt{ab} $
세 개 이상의 제곱근의 곱셈 ($c \geq 0$)
$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} \times \sqrt{c} = \sqrt{abc} $
$ p\sqrt{a} \times q \sqrt{b} \times r\sqrt{c} = pq r\sqrt{abc} $

예시

$ \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15} $
$ 3\sqrt{2} \times 4\sqrt{5} = (3 \times 4) \times \sqrt{2 \times 5} = 12\sqrt{10} $

제곱근의 나눗셈

$ a \geq 0,\ b > 0 $이고 $ m,\ n $이 유리수일 때

$\sqrt{a} \div \sqrt{b}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ — 근호 안의 수끼리 나눈다.
$ {m\sqrt{a}} \div {n\sqrt{b}} = \dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}} $ (단, $ n \neq 0 $) — 근호 밖의 수끼리, 근호 안의 수끼리 나눈다.

예시

$ \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{6}{3}} = \sqrt{2} $
${4\sqrt{2}} \div {5\sqrt{3}}= \dfrac{4}{5} \sqrt{\dfrac{2}{3}} $

근호가 있는 식

근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있다. (단, $ a > 0,\ b \geq 0 $)
$ \sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b} $, $ \sqrt{\dfrac{b}{a^2}} = \dfrac{\sqrt{b}}{a} $
근호 밖의 양수는 제곱하여 근호 안으로 넣을 수 있다. (단, $ a > 0,\ b \geq 0 $)
$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} $, $ \dfrac{\sqrt{b}}{a} = \sqrt{\dfrac{b}{a^2}} $

⚠️ 주의: 근호 밖의 수를 근호 안으로 넣을 때는 반드시 양수만 제곱하여 넣어야 한다.

$ -3\sqrt{2} = \sqrt{(-3)^2 \times 2} = \sqrt{18} $ ❌ (틀림)
$ -3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \times 2} = -\sqrt{18} $ ✅ (맞음)

분모의 유리화

분모의 유리화: 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것

유리화 방법

분모의 근호를 분모와 분자에 곱하여 분모의 근호를 제곱으로 만든다.

$ a > 0,\ b \geq 0 $ 일 때
1. $ \dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a} $
2. $ \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{b} \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{a} $

예제

$ \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
$ \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7} $