사다리꼴과 등변사다리꼴은 중학교 기하 단원에서 자주 다뤄지는 기본 도형이지만, 등변사다리꼴 성질과 조건 사이의 관계는 자세히 다루지 않고 암기하고 넘어가는 학생이 많습니다.
특히 “평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴이 등변사다리꼴이다(거짓)”와 같은 거짓 명제는 단순히 진위 여부를 아는 것을 넘어, 조건이 성립하지 않는 반례까지 검토하는 과정이 필요합니다.
이번 글에서는 정의에서 부터 시작해서 사다리꼴과 등변사다리꼴 성질과 성질이 조건이 될 수 있는지를 꼼꼼히 살펴보겠습니다. 끝까지 읽으시면 단순 암기를 넘어 정의, 성질, 조건의 차이를 분명하게 이해하게 될 것입니다.
사다리꼴, 등변사다리꼴 정의
사다리꼴과 등변사다리꼴의 정의는 다음과 같습니다.
- 사다리꼴: 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형
- $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
- 등변사다리꼴: 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴
- $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$, $\angle{B}=\angle{C}$
- 정사각형, 직사각형은 모두 등변사다리꼴에 포함
- 주의: 평행사변형은 등변사다리꼴 아님
등변사다리꼴 성질과 조건
- 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다
$\overline{AB}=\overline{CD}$. - 두 대각선의 길이가 같다
$\overline{AC}=\overline{BD}$. - 밑각과 윗각이 각각 같다
$\angle B=\angle C,\ \angle A=\angle D$.
등변사다리꼴의 성질을 생각할 때 두 대각선은 서로 다른것을 이등분하지 않음에 주의해야 합니다. (일반적으로 평행사변형이 아니기 때문.)
- $\overline{AO}\ne\overline{CO}$, $\overline{BO}\ne\overline{DO}$
성질1 증명
- 등변사다리꼴 $\Rightarrow$ 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
[증명]
$\overline{AD}⫽ \overline{BC}$이고 $\angle{B}=\angle{C}$인 등변사다리꼴 $\square{ABCD}$에 대하여 점 $D$를 지나고 $\overline{AB}$에 평행한 직선을 그어 $\overline{BC}$와 연장선과 만나는 점을 $E$라고 할 때
$\square{ABED}$는 평행사변형이고 다음과 같은 이유로 $\triangle{DEC}$는 이등변삼각형 입니다.
- $\angle{C}=\angle{B}$ (등변사다리꼴)
- $\angle{DEC}=\angle{B}$ (동위각)
따라서 다음이 성립합니다.
- $\triangle{DEC}$ 이등변삼각형: $\overline{DE}=\overline{DC}$
- $\square{ABED}$ 평행사변형: $\overline{AB}=\overline{DE}$
이를 정리하면 $\overline{AB}=\overline{DC}$임을 알 수 있습니다.
조건이 될 수 있을까?
주의 해야할 점은 이 성질은 등변사다리꼴의 조건이 될 수 없다는 사실입니다. 지금까지 대부분의 명제가 참이 됨을 증명을 이용해 보였습니다. 그렇다면 아래의 명제가 잘못임을 보이려면 어떻게 해야 할까요?
- 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴 $\xrightarrow[]{\times}$ 등변사다리꼴
위의 명제가 사실이 아님을 보이기 위해서는 조건을 만족하면서 등변사다리꼴이 아닌 예를 찾으면 됩니다. 이러한 예를 반례라고하고 이 명제의 반례는 직사각형이 아닌 평행사변형입니다.
“평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴”이라는 조건으로 등변사다리꼴을 정의 할 수 없습니다. 왜냐하면 이 조건을 만족하면서도 등변사다리꼴이 아닌 경우(예: 직사각형이 아닌 평행사변형)가 존재하기 때문입니다.
- 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴 (등변사다리꼴 보장 안됨)
- 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴 (정의)
정의는 단순히 어떤 성질을 묘사하는 데 그치지 않고, 그 성질을 만족하면 반드시 해당 도형임을 보장해야 합니다.
성질2 증명
- 등변사다리꼴에서 두 대각선의 길이가 같다.
[증명]
주어진 등변사다리꼴 $\square{ABCD}$의 두 대각선 $\overline{AC}.\ \overline{BD}$에 대하여
$\triangle{ABC} \equiv \triangle{DCB}$ (SAS합동)
- $\angle B=\angle C$ (정의)
- $\overline{BC}$:공통
- $\overline{AB}=\overline{CD}$ (성질1)
따라서 $\overline{AC}=\overline{BD}$입니다.
조건이 될 수 있을까?
이 성질이 등변사다리꼴의 조건이 될 수 있는지도 생각해 볼 필요가 있습니다.
- 두 대각선의 길이가 같은 사다리꼴 $\Rightarrow$ 등변사다리꼴
[증명]
$\overline{AD}⫽ \overline{BC}$이고 $\overline{AC}=\overline{BD}$인 사다리꼴 $\square{ABCD}$에 대하여
$\triangle{PAD}\sim\triangle{PCD}$ AA 닮음
- $\angle{PAD}=\angle{PCB}$
- $\angle{PDA}=\angle{PBC}$
닮음비를 $a:b$로 두면 $\overline{PA} : \overline{PC}=\overline{PD} : \overline{PB}=a:b$이고 $\triangle{PBC}$가 이등변삼각형이 됩니다.
위의 사실을 이용하면 $\triangle{DBC}\equiv\triangle{ACB}$ (SAS합동)임을 다음과 같이 보일 수 있습니다.
- $\overline{AC}=\overline{BD}$
- $\overline{BC}$: 공통
- $\angle{DBC}=\angle{ACB}$ ($\triangle{PBC}$:이등변삼각형)
따라서 $\angle{ABC}=\angle{DCB}$이고 따라서 $\square{ABCD}$는 등변사다리꼴이 됩니다.
[이미지출처: 개념원리]