등변사다리꼴의 성질과 조건

사다리꼴과 등변사다리꼴은 정의 자체는 비교적 간단하지만, 성질과 조건을 구분하여 이해하려면 조금 더 세심한 사고가 필요합니다. 특히 어떤 성질이 항상 성립한다고 해서 그 성질만으로 반드시 등변사다리꼴이 되는 것은 아니므로, 조건과 결론의 관계를 정확하게 따져보는 것이 중요합니다. 이번 글에서는 사다리꼴과 등변사다리꼴의 정의에서 출발하여 등변사다리꼴의 성질을 증명하고, 각 성질이 등변사다리꼴이 되는 조건으로도 사용할 수 있는지 직접증명과 반례를 통해 차례로 확인해 보겠습니다.

사다리꼴, 등변사다리꼴 정의

사다리꼴과 등변사다리꼴의 정의는 다음과 같습니다.

정의를 통해 직사각형이 아닌 평행사변형은 밑각의 크기가 다르므로 등변사다리꼴 아님을 알 수 있습니다.

등변사다리꼴의 성질

등변사다리꼴의 성질을 정리할 때는 다음과 같은 사항을 함께 정리해야 합니다.

1 증명

$\overline{AD} \pa \overline{BC}$이고 $\angle{B}=\angle{C}$인 등변사다리꼴 $\square{ABCD}$에 대하여 점 $D$를 지나고 $\overline{AB}$에 평행한 직선을 그어 $\overline{BC}$와 연장선과 만나는 점을 $E$라고 할 때

$\square{ABED}$는 평행사변형이고 다음과 같은 이유로 $\triangle{DEC}$는 이등변삼각형 입니다.

• $\angle{C}=\angle{B}$ (등변사다리꼴)
• $\angle{DEC}=\angle{B}$ (동위각)

따라서 다음이 성립합니다.

• $\triangle{DEC}$ 이등변삼각형: $\overline{DE}=\overline{DC}$
• $\square{ABED}$ 평행사변형: $\overline{AB}=\overline{DE}$

이를 정리하면 $\overline{AB}=\overline{DC}$임을 알 수 있습니다.

2 증명

주어진 등변사다리꼴 $\square{ABCD}$의 두 대각선 $\overline{AC}.\ \overline{BD}$에 대하여

$\triangle{ABC} \equiv \triangle{DCB}$ (SAS합동)

• $\angle B=\angle C$ (정의)
• $\overline{BC}$:공통
• $\overline{AB}=\overline{CD}$ (성질1)

따라서 $\overline{AC}=\overline{BD}$입니다.

등변 사다리꼴의 조건

다음 조건 중 등변 사다리꼴의 조건이 되는 것과 되지 않는 것을 구분해서 정리해 봅시다.

1. 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴
2. 한 쌍의 대변이 평행하고 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형
3. 두 대각선의 길이가 같은 사다리꼴
4. 두 대각선의 길이가 같은 사각형

1. 증명

$\overline{AB} \pa \overline{CD}$인 사다리꼴 $\square{ABCD}$에 대하여 $\overline{BC}=\overline{AD}$인 사각형은 $\square{ABCD_1},\ \square{ABCD_2}$가 있습니다.

$\triangle{BCH} \equiv \triangle{AD_1I}$이므로 $\angle{BCH}=\angle{AD_1I}$이고, $\overline{BC} \pa \overline{AD_1}$입니다. 따라서 평행하지 않고 길이가 같은 한 쌍의 대변은 $\overline{BC},\ \overline{AD_2}$ 입니다.

따라서 다음이 성립합니다.

• $\angle{BCH}=\angle{AD_2I}$ ($\triangle{BCH} \equiv \triangle{AD_2I}$)

평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴 $\square{ABCD_2}$ 밑각의 크기가 같은 사다리 꼴이므로 등변사다리 꼴이 됩니다.

2. 반례

명제가 사실이 아님을 보이기 위해서는 조건을 만족하면서 등변사다리꼴이 아닌 예를 찾으면 됩니다. 이러한 예를 반례라고하고 이 명제의 반례는 평행사변형(직사각형이 아닌)입니다.

3. 증명

$\overline{AD} \pa \overline{BC}$이고 $\overline{AC}=\overline{BD}$인 사다리꼴 $\square{ABCD}$에 대하여

$\triangle{PAD}\sm\triangle{PCD}$ AA 닮음

1. $\angle{PAD}=\angle{PCB}$
2. $\angle{PDA}=\angle{PBC}$

닮음비를 $a:b$로 두면 $\overline{PA} : \overline{PC}=\overline{PD} : \overline{PB}=a:b$이고 $\triangle{PBC}$가 이등변삼각형이 됩니다.

위의 사실을 이용하면 $\triangle{DBC}\equiv\triangle{ACB}$ (SAS합동)임을 다음과 같이 보일 수 있습니다.

1. $\overline{AC}=\overline{BD}$
2. $\overline{BC}$: 공통
3. $\angle{DBC}=\angle{ACB}$ ($\triangle{PBC}$:이등변삼각형)

따라서 $\angle{ABC}=\angle{DCB}$이고 따라서 $\square{ABCD}$는 등변사다리꼴이 됩니다.

4. 반례

사실임을 보이기 위해서는 증명해야 하고, 거짓임을 보이려면 반례를 제시하면 됩니다. 성립하지 않는 반례는 다음과 같습니다.

명제의 참과 거짓

수학을 공부하다 보면 아래와 같은 구조를 갖는 문장을 자주 접하게 됩니다.

• $\bbox[#ffff00]{\text{두 대각선의 길이가 같은 사각형}}$ $\rightarrow \bbox[#dcff8d]{\text{등변사다리꼴}}$

위와 같이 $\bbox[#ffff00]{\text{조건}}$과 $\bbox[#dcff8d]{\text{결과}}$로 이루어진 문장을 명제라고 합니다. 주어진 명제가 참인지 거짓인지 보이는 것은 수학에서 중요한 과정입니다. 이러한 과정에서 사용할 수 있는 논리는 아래와 같습니다.

1. 명제가 참임을 보이는 방법
   • 직접증명: $\bbox[#ffff00]{\text{조건}}$ $\rightarrow \rightarrow \rightarrow$ $\bbox[#dcff8d]{\text{결과}}$을 직접 보이는 것
   • 간접증명(귀류법): $\bbox[#ffff00]{\text{조건}}\circ$, $\bbox[#dcff8d]{\text{결과}} \times$인 경우는 $\color{red}{\text{모순}}$임을 보이는 것
2. 명제가 거짓임을 보이는 방법
   • 반례: $\bbox[#ffff00]{\text{조건}}\circ$, $\bbox[#dcff8d]{\text{결과}} \times$

반례는 나중에 배울 귀류법적 사고의 기초가 되기 때문에 중학교 2학년 시기에 반드시 이해하고 넘어가야 합니다.

[이미지출처: 개념원리]

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등변사다리꼴의 성질과 조건을 구분해 살펴보면, 도형 문제에서도 조건과 결론을 정확하게 구별하는 것이 얼마나 중요한지 알 수 있습니다. 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사다리꼴이나 두 대각선의 길이가 같은 사다리꼴은 등변사다리꼴이 되지만, 단순히 한 쌍의 대변이 평행하고 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형이나 두 대각선의 길이가 같은 사각형이라고 해서 항상 등변사다리꼴이 되는 것은 아닙니다. 따라서 명제가 참인 경우에는 정의와 성질을 이용하여 증명하고, 거짓인 경우에는 조건을 만족하지만 결론은 성립하지 않는 반례를 찾는 사고가 필요합니다. 이러한 과정은 이후 명제, 직접증명, 귀류법을 학습할 때에도 중요한 기초가 됩니다.