평행사변형이 되는 조건, 증명까지 완벽 정리!

평행사변형이 되는 조건 증명까지 완벽 정리

평행사변형은 중학교 기하 영역에서 반드시 이해하고 넘어가야 할 핵심 개념입니다. 단순히 ‘대변이 평행하다’는 정의를 넘어서, 다양한 성질과 그 반대인 조건이 서로 어떤 관계로 연결되는지, 각각의 조건이 어떻게 증명되는지를 체계적으로 이해하는 것이 중요합니다.

이 글에서는 평행사변형이 되는 5가지 조건과 그에 대한 증명을 그림과 수식으로 자세히 설명하였습니다. 이 글을 통해 평행사변형이 되는 조건을 깊이 있게 파악하고 성질과의 논리적 연결고리를 확실히 이해하길 바랍니다.

성질은 논리적인 구성에 따라 다음과 같이 두 가지로 사용할 수 있습니다. 따라서 수학에서는 성질이란 용어 대신 (~에 대한 성질, ~이 될 조건)이라는 용어로 구분하여 사용합니다.

  1. $\square{ABCD}$가 평행사변형 $\Rightarrow$ 성질(평행사변형의 성질)
  2. 성질(평행사변형의 조건) $\Rightarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

중학교 2학년부터 ~에 대한 성질, ~이 될 조건 이라는 용어를 수학적 용어로 일상언어(성질)과 구분 지어 생각하겠습니다.

평행사변형의 성질(복습)

평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여 다음의 성질이 성립함을 배웠습니다. (복습)

평행사변형의 성질
  • 성질1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
  • 성질2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
  • 성질3. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
  • 성질4. 두 대각선은 서로를 이등분한다

이번 시간에는 위의 성질들이 평행사변형이 되는 조건이 되는지 확인해 보도록 하겠습니다.

  • 성질(평행사변형의 조건) $\Rightarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

평행사변형이 되는 조건

사각형 $\square{ABCD}$가 어떤 성질을 만족할 때 평행사변형이 되면, 이 성질을 평행사변형이 될 조건 이라고 합니다. 먼저 평행사변형이 될 조건에 대해 정리하고 증명하도록 하겠습니다.

평행사변형이 되는 조건

다음과 같은 성질을 만족하면 평행사변형이 됩니다.

  • 성질1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
  • 성질2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
  • 성질3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
  • 성질4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
  • 성질5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.
    • 이 조건은 평행사변형의 성질로 다루지 않았지만 정의와 성질1을 조합하여 얻을 수 있는 또 다른 성질로 생각할 수 있습니다.

평행사변형이 되는 조건 증명

성질1. 조건이 되는지 증명

두 쌍의 대변의 길이가 같은 $\square{ABCD}$에서 대각선 $\overline{AC}$를 그으면 $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$ (SSS 합동)이고 다음의 대응각이 같음을 알 수 있습니다

  1. $\angle{BAC} = \angle{DCA} \Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$
  2. $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$

따라서 $\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명1. 두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.

성질2. 조건이 되는지 증명

두 쌍의 대각이 각각 같은 $\square{ABCD}$에 대하여 $\angle{A}=\angle{C}$이고, $\angle{\bbox[#ffff00]{A}} + \angle{\bbox[#dcff8d]{B}} = 180^\circ$이고 $\angle{\bbox[#dcff8d]{B}} + \angle{CBE}=180^\circ$이므로 다음이 성립합니다.

  • $\angle{A} = \angle{CBE}\Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
  • $\angle{C} = \angle{CBE}\Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$

따라서 $\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형은 평행사변형이다.

성질3. 조건이 되는지 증명

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 $\square{ABCD}$의 대각선 $\overline{AC}$, $\overline{BD}$의 교점을 $O$라 할 때 맞꼭지각을 끼인각으로 하는 마주 보는 삼각형이 SAS합동임을 알 수 있습니다. 따라서 다음이 성립합니다.

  1. $\angle{ABO} = \angle{CDO} \Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$
  2. $\angle{DAO} = \angle{BCO} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$

$\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

평행사변형이 되는 조건 증명3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변형이다.

성질4. 조건이 되는지 증명

이웃하는 두 내각의 합이 모두 $180^\circ$ 인 사각형 $\square{ABCD}$에 대하여 $\angle{A} + \angle{\bbox[#ffff00]{B}} = 180^\circ$, $\angle{\bbox[#ffff00]{B}} + \angle{C} = 180^\circ$일 때 $\angle{\bbox[#ffff00]{B}}=b$로 두면 다음이 성립합니다.

  1. $\angle{A}=\angle{C}=180-b$
  2. $\angle{D}=b$

따라서 $\angle{A}=\angle{C}$, $\angle{B}=\angle{D}$이고 조건2를 만족하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건4 증명 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도인 사각형은 평행사변형이다.

이 증명을 통해 두 내각의 합이 모두 $180^\circ$인지 확인하지 않고, 다음 두 가지만 확인하면 충분함을 알 수 있습니다.

  • $\angle{A} + \angle{\bbox[#ffff00]{B}} = 180^\circ$
  • $\angle{\bbox[#ffff00]{B}} + \angle{C} = 180^\circ$

성질5. 조건이 되는지 증명

한 쌍의 대변($\overline{AB},\ \overline{CD}$)이 평행하고 그 길이가 같은 사각형 $\square{ABCD}$의 대각선 $\overline{AC}$에 대하여 $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$ (SAS 합동)이고 다음이 성립합니다.

  • $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
    나머지 한 쌍의 대변도 평행하다.

따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.

[이미지 출처: 개념원리]