평행사변형의 성질

평행사변형은 중학교 도형 단원에서 매우 자주 등장하는 기본 사각형입니다. 하지만 두 쌍의 대변이 평행하다는 정의만 외우는 것보다, 그 정의에서 어떤 성질이 만들어지는지를 이해하는 것이 훨씬 중요합니다. 이번 글에서는 평행사변형의 정의를 먼저 확인하고, 대변과 대각, 이웃한 두 내각, 두 대각선에 관한 성질이 왜 성립하는지를 삼각형의 합동과 평행선의 성질을 이용하여 차례로 증명해 보겠습니다.

평행사변형

사각형 $ABCD$에 대하여 평행사변형은 다음과 같이 정의 합니다.

평행사변형의 성질

평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여 다음의 성질이 성립합니다.

1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
3. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다.
4. 두 대각선은 서로 다른것을 이등분한다.
5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

1,2,3 증명

평행사변형 $\square{ABCD}$에서 대각선 $\overline{AC}$를 그으면 두 삼각형으로 나누어 지고, $\overline{AC}$가 공통, 양 끝각이 엇각으로 같아 $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$(ASA)입니다.

따라서 다음이 성립합니다.

• 성질1. $\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$
• 성질2. $\angle{A}=\angle{C}$, $\angle{B}=\angle{D}$
• 성질3. $\angle{A}+\angle{B}=180^\circ$, $\angle{B}+\angle{C}=180^\circ\cdots$

4 증명

평행사변형 $\square{ABCD}$에서 두 대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$의 교점을 $O$라 할 때, 서로 마주보는 삼각형 $\triangle{ABO}$, $\triangle{CDO}$에 대하여 $\overline{AB} = \overline{CD}$(성질1)이고 양 끝각이 엇각으로 같습니다. 따라서 다음이 성립합니다.

$\triangle{ABO} \equiv \triangle{CDO}$ ASA합동이고, $\overline{AO} = \overline{CO}$, $\overline{BO} = \overline{DO}$ (두 대각선이 서로 다른 것을 이등분)

5 증명

이 성질은 평행사변형의 정의와 성질1을 조합하면 됩니다.

1. 평행사변형: 두 쌍의 대변이 평행한 사각형
2. (성질1)두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형

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평행사변형의 여러 성질은 각각 따로 외워야 하는 결과가 아니라, 두 쌍의 대변이 평행하다는 정의에서 출발하여 삼각형의 합동과 평행선의 성질을 이용해 논리적으로 얻을 수 있습니다. 두 쌍의 대변의 길이와 대각의 크기가 각각 같고, 이웃하는 두 내각의 합이 $180^\circ$이며, 두 대각선이 서로를 이등분한다는 성질까지 그 이유를 함께 이해해 두면 관련 문제를 훨씬 쉽게 판단할 수 있습니다. 다음에는 이러한 성질과 반대로, 어떤 조건을 만족하는 사각형을 평행사변형이라고 판단할 수 있는지 평행사변형이 되는 조건을 정리해 보겠습니다.