평행사변형이 되는 조건, 증명까지 완벽 정리!

평행사변형은 중학교 기하 영역에서 반드시 이해하고 넘어가야 할 핵심 개념입니다. 단순히 ‘대변이 평행하다’는 정의를 넘어서, 다양한 성질과 그 반대인 조건이 서로 어떤 관계로 연결되는지, 각각의 조건이 어떻게 증명되는지를 체계적으로 이해하는 것이 중요합니다.

이 글에서는 평행사변형이 되는 5가지 조건과 그에 대한 증명을 그림과 수식으로 자세히 설명하였습니다. 이 글을 통해 평행사변형이 되는 조건을 깊이 있게 파악하고 성질과의 논리적 연결고리를 확실히 이해하길 바랍니다.

평행사변형의 성질과 조건에는 다음과 같은 차이가 있습니다.

1. $\square{ABCD}$가 평행사변형 $\RIghtarrow$ 성질
2. 조건 $\RIghtarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

이 전시간에는 성질에 초점을 두었다면 이번 시간에는 조건에 초점을 두고 정리해 보도록 하겠습니다.

평행사변형의 성질(복습)

평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여 다음의 성질이 성립함을 배웠습니다. (복습)

1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
   $\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$
2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
   $\angle{A} = \angle{C}$, $\angle{B} = \angle{D}$
3. 두 대각선은 서로를 이등분한다
   $\overline{AC}$ 와 $\overline{BD}$ 는 서로의 중점을 지난다.
4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
   $\angle{A} + \angle{B} = 180^\circ$, $\angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$

이번 시간에는 평행사변형이 되는 조건에 대해 정리해 보도록 하겠습니다. 성질과 조건의 차이는 다음과 같습니다.

• 조건 $\RIghtarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

평행사변형이 되는 조건과 증명

평행사변형이 되는 조건부터 정리하고 증명을 이어가도록 하겠습니다.

$\square{ABCD}$가 다음의 한 조건을 만족시키면 평행사변형이 됩니다.

• 정의: 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
  $\overline{AB} ⫽ \overline{CD},\ \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
• 평행사변형의 조건 (성질과 동일)
  1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
     $\overline{AB} = \overline{CD},\ \overline{AD} = \overline{BC}$
  2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
     $\angle A = \angle C,\ \angle B = \angle D$
  3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
     $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$는 서로를 이등분한다.
  4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
     $\angle{A} + \angle{B} = 180^\circ,\ \angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$
  5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.
     $\overline{AB} ⫽ \overline{CD},\ \overline{AB} = \overline{CD}$
     • 이 조건은 평행사변형의 성질로 다루지 않았지만 정의와 성질1을 조합하여 얻을 수 있는 또 다른 성질로 생각할 수 있습니다.

평행사변형이 되는 조건 증명

정의는 증명할 것이 없으므로, 성질에 대한 증명에 대해 살펴보도록 하겠습니다.

증명1. 두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.

$\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$과 동위각과 엇각이 같으면 두 직선이 평행(복습)하다는 성질에 의해

1. $\angle{BAC} = \angle{DCA} \Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$
2. $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$

따라서 $\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형입니다.

증명2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형은 평행사변형이다.

따라서 다음이 성립합니다.

1. $\angle{\bbox[#ffff00]{A}} + \angle{\bbox[#dcff8d]{B}} = 180^\circ$
2. $\angle{\bbox[#dcff8d]{B}} + \angle{CBE}=180^\circ$
   $E$: $\overline{AB}$의 연장선 위에 점

동위각과 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다는 성질에 의해 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

1. $\angle{A} = \angle{CBE} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$ (동위각)
2. $\angle{C} = \angle{CBE} \Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$(엇각)
   (왜냐하면, $\angle{C}= \angle{A}$ 이기 때문)

따라서 두 쌍의 대변 이 각각 평행하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

증명3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변형이다.

따라서 합동과 동위각 엇각의 성질을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

1. $\triangle{AOB} \equiv \triangle{COD}$ (SAS 합동)
   • $\angle{ABO} = \angle{CDO} \Rightarrow \overline{AB} ⫽ \overline{CD}$
2. $\triangle{AOD} \equiv \triangle{COB}$ (SAS 합동)
   • $\angle{DAO} = \angle{BCO} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$

$\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

증명4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도인 사각형은 평행사변형이다.

이웃하는 두 내각의 합이 모두 $180^\circ$ 인 사각형 $\square{ABCD}$는 다음을 만족합니다.

따라서 $\angle{A}=\angle{C}$, $\angle{B}=\angle{D}$이고 조건2를 만족하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

증명5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.

$\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$ 합동과 동위각과 엇각의 성질을 이용하면 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

• $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
  나머지 한 쌍의 대변도 평행하다.

따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

[이미지 출처: 개념원리]