“평행사변형의 성질, 그냥 외우기만 하셨나요?”
도형을 진짜 이해하려면 단순한 암기에서 벗어나 왜 그런 성질이 성립하는지를 파악하는 것이 중요합니다. 이 글에서는 평행사변형의 정의부터 시작해, 4가지 필수 성질을 도형과 삼각형 합동 원리를 통해 직접 증명하는 과정을 다루고 있습니다.
중학교 수학에서 반드시 알아야 할 내용을 쉽고 논리적으로 풀어낸 설명과 함께 확인해보세요. 끝까지 읽고 나면, 어떤 도형 문제도 논리적으로 접근할 수 있는 확신이 생길 것입니다.
평행사변형 정의
사각형 $ABCD$에 대하여 평행사변형은 다음과 같이 정의 합니다.
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
그림에서 $\overline{AB} ⫽ \overline{CD}$, $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$
- 대변: 서로 마주보는 변
$\overline{AB}$ 와 $\overline{CD}$, $\overline{AD}$ 와 $\overline{BC}$ - 대각: 서로 마주보는 각
$\angle A$ 와 $\angle C$, $\angle B$ 와 $\angle D$
평행사변형의 성질과 증명
평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여 다음의 성질이 성립합니다.
- 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
$\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$ - 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
$\angle{A} \bbox[#f3c2d5]{=} \angle{C}$, $\angle{B} \bbox[#a7e2f5]{=} \angle{D}$ - 두 대각선은 서로를 이등분한다
$\overline{AC}$ 와 $\overline{BD}$ 는 서로의 중점을 지난다. - 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
$\angle{A} + \angle{B} = 180^\circ$, $\angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$
평행사변형의 성질 증명
증명1 : 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
평행사변형 $\square{ABCD}$에서 대각선 $\overline{AC}$를 그으면, $\triangle{ABC}$와 $\triangle{CDA}$에서
- $\overline{AC}$는 공통
- $\overline{AD} ⫽ \overline{BC}$이므로 $\angle{ACB} = \angle{CAD}$ (엇각)
- $\overline{AB} ⫽ \overline{CD}$이므로 $\angle{CAB} = \angle{DCA}$ (엇각)
따라서 $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$ (ASA 합동)이고,
$\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$입니다.
따라서 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같습니다.
증명2. 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.
평행사변형 $\square{ABCD}$에서 대각선 $\overline{AC}$를 그으면, $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$이므로 (성질1) 다음이 성립합니다.
- $\angle{B} = \angle{D}$ (합동)
- $\angle{BAC} = \angle{ACD}$ (엇각)
- $\angle{BCA} = \angle{CAD}$ (엇각)
따라서 $\angle{A}$, $\angle{C}$는 다음을 만족합니다.
\begin{flalign}\angle{A} &= \angle{BAC} + \angle{CAD} \\
&= \angle{ACD} + \angle{BCA}\\
&= \angle{C}&&\end{flalign}
위의 사실을 정리하면 $\angle{A} = \angle{C}$이고, 비슷한 방법으로 $\angle{B} = \angle{D}$도 성립함을 알 수 있습니다.
따라서 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같습니다.
증명3. 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
평행사변형 $\square{ABCD}$에서 두 대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$의 교점을 $O$라 할 때, $\triangle{ABO}$와 $\triangle{CDO}$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\overline{AB} = \overline{CD}$ (성질1)
- $\overline{AB} ⫽ \overline{CD}$이므로 (정의)
- $\angle{ABO} = \angle{CDO}$ (엇각)
- $\angle{BAO} = \angle{DCO}$ (엇각)
따라서 $\triangle{ABO} \equiv \triangle{CDO}$ ASA합동이고, $\overline{AO} = \overline{CO}$, $\overline{BO} = \overline{DO}$
따라서 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분합니다.
증명4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여
- $\angle{A} + \angle{B} + \angle{C} + \angle{D} = 360^\circ$
- $\angle{A} = \angle{C}$, $\angle{B} = \angle{D}$ (성질2)
따라서 $2(\angle{A} + \angle{B}) = 360^\circ$이고 다음이 성립합니다.
- $\angle{A} + \angle{B} = 180^\circ$
같은 방법으로 $\angle{B} + \angle{C} = 180^\circ$, $\angle{C} + \angle{D} = 180^\circ$, $\angle{D} + \angle{A} = 180^\circ$ 임을 보일 수 있습니다.
따라서 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 항상 $180^\circ$입니다.
이번시간에는 평행사변형의 성질에 대해 학습하였습니다. 그렇다면, 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지는 어떻게 판단할 수 있을까요? 다음 글에서는 평행사변형의 조건에 대한 내용을 정리해 보도록 하겠습니다.
- $\square{ABCD}$가 평행사변형 $\RIghtarrow$ 성질
- 조건 $\RIghtarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형
[이미지 출처: 개념원리]