제곱근은 제곱과 서로 반대되는 연산으로, 어떤 수를 제곱했을 때 주어진 수가 되는 값을 찾는 과정에서 등장합니다. 특히 방정식 $x^2=a$의 해를 이해하려면 제곱근의 의미와 성질을 정확하게 알고 있어야 합니다. 또한 제곱근을 계산하거나 식을 정리할 때는 $\sqrt{a},\ -\sqrt{a},\ \sqrt{a^2},\ \left(\sqrt{a}\right)^2$와 같은 표현이 자주 등장하며, 이때 각 각의 의미를 구분하는 것이 매우 중요합니다.
이 글에서는 제곱근의 정의를 바탕으로 제곱근의 성질을 살펴보고, $\sqrt{a^2},\ \left(\sqrt{a}\right)^2$ 처럼 비슷한 표현의 계산 결과에 대해 정리하고, 왜 $\left(\sqrt{a}\right)^2$이 절댓값과 연결되는지 예를 통해 차근차근 정리해 보겠습니다.
제곱근의 성질
방정식 $x^2=a,\ (a\geq0)$를 만족하는 해$x$를 $a$의 제곱근이라 합니다.
- $a=0$인 경우에는 해는 $x=0$ 뿐이고 따라서 $0$의 제곱근은 $0$입니다.
- $a>0$인 경우에는 $a$의 제곱근은 $\bbox[#dcff8d]{\sqrt{a}}$, $\bbox[#dcff8d]{-\sqrt{a}}$이고 정의에 따라서 이 두 수는 제곱해서 $a$가 되는 수 입니다.
- $(\sqrt{a})^2=a$, $(-\sqrt{a})^2=a$
- $\left(\bbox[#dcff8d]{\pm\sqrt{a}}\right)^2=a$
제곱근의 연산
이제 제곱근의 연산에 자주 등장하는 $\sqrt{a^2}$의 연산에 대해 정리해 봅시다.
제곱근의 정의에 의해 $\sqrt{\bbox[#dcff8d]{a^2}}$에서 근호 안은 $0$보다 크거나 같은 수가 올 수 있습니다. $a$에 어떤 수가 오더라도 $\bbox[#dcff8d]{a^2}\geq 0$을 만족하므로 모든 $a$값에 대해 연산이 가능합니다.
- $a=0$일 때
$\sqrt{a^2}\Rightarrow \sqrt{0^2}= \sqrt{0}=0\Rightarrow a$ - $a>0$일 때
$a=2$라면 $\sqrt{a^2}\Rightarrow \sqrt{2^2}= \sqrt{4}=2\Rightarrow a$ - $a<0$일 때
$a=-2$라면 $\sqrt{a^2}\Rightarrow \sqrt{(-2)^2}= \sqrt{4}=2\Rightarrow -a$
$\sqrt{a^2}$는 근호 앞에 부호가 없으므로, 음수가 아니고 따라서 $a<0$일 때 계산 결과가 $-a$(양수)가 되는 것은 자연스러운 결과 입니다.
위의 결과를 정리하면, $a\geq0$이면 $a$이고, $a<0$이면 $-a$가 됩니다.
- $\sqrt{a^2}$ 계산 $\begin{cases} a\geq0 \ ; \sqrt{a^2}= a \\[1em]
a<0 \ ; \ \sqrt{a^2}=-a \end{cases}$
$\sqrt{a^2}$의 계산 결과는 절댓값의 결과와 같습니다.
- $\left| a \right|$ 계산 $\begin{cases} a\geq0 \ ; \left| a \right|= a \\[1em]
a<0 \ ; \ \left| a \right|=-a \end{cases}$
따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $\sqrt{a^2}=\left| a \right|$
정리: 제곱근의 연산
- $a>0$인 경우, $\left(\bbox[#dcff8d]{\pm\sqrt{a}}\right)^2=a$
- $\sqrt{a^2}=\left| a \right|$ ($a$는 모든 수)