중학교 과정에서 우리는 방정식 $x^2=4$를 풀어 제곱해서 4가 되는 수는 $x-2$와 $x=−2$라는 사실을 자연스럽게 받아들입니다. 그런데 $x^2=2$처럼 제곱해서 2가 되는 수(2의 제곱근)를 찾으려 하면, 유리수 범위에서는 해를 구할 수 없다는 사실을 알게 됩니다. 그렇다고 해서 이 수가 수직선에 존재하지 않는 것은 아닙니다. 한 변의 길이가 1인 직각이등변삼각형을 이용하면 $x^2=2$ 를 만족하는 빗변을 실제로 만들 수 있기 때문입니다.
중학교 2학년 과정에서 수직선상에 있는 유리수가 유한소수 또는 무한소수(순환)임을 학습하였기 때문에 유리수가 아닌 수직선 위의 수는 순환하지 않는 무한소수가 됨을 알 수 있고, 무한 소수를 다루기 위해서 새로운 기호가 필요하게 됩니다.
이 글에서는 제곱근의 뜻(정의)을 정확히 정리하고, 제곱근을 표현하는 기호와 기호를 읽는 법을 헷갈리지 않도록 체계적으로 정리해 봅시다.
도입
중학교 1학년 2학년 과정을 통해 다음 등식 $x^2=4$에 대해 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
- $x^2=4$와 같은 등식 : 방정식
- 방정식을 만족하는 $x$의 값 : 방정식의 해 또는 근
- 방정식을 푼다 : 등호가 성립하는 해를 모두 구하는 것을 의미하고 따라서 $x=2$ 또는 $x=-2$
그렇다면 등식 $x^2=2$에 대하여 다음과 같은 사실을 생각해 볼 수 있습니다.
- $x^2=2$와 같은 등식 : 방정식
- 방정식을 만족하는 $x$의 값 : 방정식의 해 또는 근
- 방정식을 푼다: $x$를 제곱해서 2가 수가 있을까?
제곱해서 2가 되는 유리수는 존재하지 않는다.
$x^2=2$인 유리수$x$가 존재하지 않음을 증명하는 과정은 고등학교에서 다시 다루기 때문에 중학교 3학년 학생은 엄밀한 증명 보다 제곱해서 2가되는 수가 유리수가 아니라는 정도로 이해하고 넘어가도 됩니다.
이 사실을 증명하기 위해 간단한 결론을 인정하면 말이 안됨을 보이는 방법(귀류법)을 사용합니다. 따라서 실제로 증명에서 보이는 것은 다음과 같은 사실입니다.
- $x^2=2$인 유리수가 있으면 말이 안된다. (모순이다.)
증명
만약 $x^2=2$인 유리수가 있다면 $(\text{유리수})^2=2 \; \rightarrow \; \left(\pm \dfrac{b}{a} \right)^2=2$를 만족하는 다음을 만족하는 자연수 $a,\ b$를 생각할 수 있습니다.
등식의 성질을 이용해 정리하면 $b^2=2\times a^2$이고, 이를 만족하는 자연수 $a,\ b$는 존재할 수 없습니다. 왜냐하면, $a^2,\ b^2$을 소인수 분해하면 지수가 짝수 지만, 우변에는 2가 하나 더 곱해져서 좌변과 우변의 2의 지수를 생각하면 항상 다르게 되므로 말이 안됩니다.
따라서 $x$를 유리수로 생각할 수 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.
제곱해서 2가 되는 수는 수직선에 존재한다.
제곱해서 2가 되는 유리수가 존재하지 않는다고 해서 수직선에 이 수가 존재하지 않는다고 단정 지을 수는 없습니다. 수직선에서 제곱해서 2가 되는 수 $x$를 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있기 때문입니다.
빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 파란색 직각이등변삼각형의 빗변을 $x$라고하면, 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립합니다.
- $x^2=1^2+1^2\ \Rightarrow x^2=2$
- 컴퍼스를 이용해 중심이 $0$ 이고 반지름이 $x$인 원을 그린다.
- 제곱해서 2가 되는 양수와 음수를 수직선에서 찾을 수 있다.
정의와 기호
위의 상황을 일반화 시켜 $x^2=a$에 대해 정리해 봅시다. 먼저 문자와 식에서 기본적으로 적용되는 규칙을 정리하고 용어와 기호를 정리해 봅시다.
- 수를 대신하는 문자의 사용
- 문자의 범위를 제시
- 문자의 범위가 제시되어 있지 않으면 전체 수로 생각
- $x^2=a$로 주어졌다면,
- $x$ : 전체 수
- $a$ : $(\text{전체 수})^2$으로 나올 수 있는 수의 범위, $a\geq0$
정의
$a$의 제곱근
$x^2=a,\ a\geq0$이면 ($x$가 존재하고) $\bbox[#dcff8d]{x}$를 $\bbox[#dcff8d]{a \text{의 제곱근}}$이라한다.
용어와 기호
$x^2=a,\ a\geq0$에 대하여
- $a=0$ 일 때 $x^2=0$이고, 제곱해서 $0$이 되는 수에 대해 정리하면
- $x$: $0$의 제곱근 ($x=0$)
- 기호: $\sqrt{0}$으로 표기하고 루트0, 제곱근0 으로 읽습니다.
- $a>0$ 일 때 $x^2=0$이고, 제곱해서 $a$가 되는 수에 대해 정리하면
- $x$: $a$의 제곱근 ($\sqrt{a},\ -\sqrt{a}$)
- $a$의 양의 제곱근: $\sqrt{a}$($+\sqrt{a}$)로 표기하고 루트$a$또는 제곱근$a$로 읽습니다.
- $a$의 음의 제곱근: $-\sqrt{a}$로 표기하고 마이너스 루트$a$ 또는 마이너스 제곱근$a$로 읽습니다.
- $x$: $a$의 제곱근 ($\sqrt{a},\ -\sqrt{a}$)