수학에서 수의 크기를 비교하는 일은 매우 중요합니다. 특히 제곱근이 포함된 수를 비교할 때는 단순히 눈으로 판단하기 어려운 경우가 많습니다. 예를 들어 √7과 3처럼 한쪽은 근호가 있고 다른 한쪽은 근호가 없는 수일 때는 어떤 방법으로 크기를 비교해야 하는지 생각해 볼 필요가 있습니다.
이러한 상황에서는 제곱근의 의미를 이해하고, 넓이와 한 변의 길이의 관계와 같은 기하적인 개념을 이용하면 수의 대소관계를 보다 쉽게 파악할 수 있습니다. 이 글에서는 정사각형의 넓이와 변의 길이의 관계를 통해 제곱근의 대소관계를 이해하고, 근호가 있는 수와 없는 수의 크기를 비교하는 방법을 알아보겠습니다.
제곱근의 대소관계
넓이가 $a,\ b$인 두 정사각형의 한 변의 길이는 각각 $\sqrt{a}.\ \sqrt{b}$이고 다음을 만족한다.
- 정사각형의 넓이가 클수록 한 변의 길이가 더 길다.
- $a<b$ 이면 $\sqrt{a}<\sqrt{b}$이다.
- 정사각형의 한 변의 길이가 더 길면 넓이도 크다.
- $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ 이면 $a<b$이다.
근호가 있는 수와 없는 수의 대소관계
$\sqrt7$과 3의 대소를 비교할 때 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
- 근호가 없는 수를 근호가 있는 수로 바꾸어 비교.
- $\sqrt{7}$과 $3=\sqrt{9}$를 비교
- 각 수를 제곱하여 비교.
- $(\sqrt{7})^2=7$ 과 $3^2=9$를 비교