원의 접선과 현이 이루는 각은 원주각의 성질과 연결되어 자주 활용되는 중요한 개념입니다. 접점에서 만들어지는 각과 같은 호를 보는 원주각의 관계를 이해하면, 각의 크기를 구하거나 평행 관계를 증명하는 문제를 보다 체계적으로 해결할 수 있습니다.
할선정리에 대한 증명은 내용이 길어져서 아래의 링크에서 다루었습니다.
접선과 현이 이루는 각
먼저 하나의 원에서 접선과 현이 만드는 각이 어떤 원주각과 같아지는지 살펴보겠습니다.
접현각
원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.
- $\angle BAT=\angle BCA$
하나의 경우로 증명이 어렵기 때문에 다음과 같이 $\angle BAT$가 직각, 예각, 둔각인 세 가지 경우로 나눌 수 보이도록 하겠습니다.
증명
1. $\angle BAT$가 직각인 경우
$\overline{AB}$가 원 $O$의 지름이므로 $\angle BCA$는 반원에 대한 원주각이고 다음이 성립합니다.
- $\angle BCA=90^\circ$
따라서 $\angle BAT=\angle BCA=90^\circ$
2. $\angle BAT$가 예각인 경우
오른쪽 그림과 같이 지름 $\overline{PA}$와 선분 $\overline{PC}$를 그으면
- $\angle PAT=\angle PCA=90˚$
- $\angle PAB=\angle PCB$($\overparen{BP}$에 대한 원주각)
- $\angle BAT=\angle PAT-\angle PAB=90˚-\angle PAB$
- $\angle BCA=\angle PCA-\angle PCB=90˚-\angle PCB$
따라서 $\angle BAT=\angle BCA$이 성립합니다.
3. $\angle BAT$가 둔각인 경우
오른쪽 그림과 같이 지름 $PA$와 선분 $PC$를 그으면
- $\angle PAT=\angle PCA=90^\circ$
- $\angle BCP=\angle BAP$ ($\overparen{BP}$에 대한 원주각)
- $\angle BAT=\angle BAP+\angle PAT=\angle BAP+90˚$
- $\angle BCA=\angle BCP+\angle PCA=\angle BCP+90˚$
따라서 $\angle BAT=\angle BCA$이 성립합니다.
⑴~⑶에 의하여 $\angle BAT=\angle BCA$입니다.
참고 원 $O$에서 $\angle BAT=\angle BCA$이면 직선 $AT$는 원 $O$의 접선이다.
예제
오른쪽 그림에서 직선 $TT’$이 원 $O$의 접선이고 점 $A$가 접점일 때, $\angle x$, $\angle y$의 크기를 각각 구하시오.
풀이
$\angle x=\angle BAT=70˚$
$\angle y=\angle CAT=55˚$
이 성질은 하나의 원뿐 아니라 두 원이 하나의 공통접선을 가질 때에도 각의 관계를 연결하는 데 활용할 수 있습니다.
두 원에서 접현각
직선 $PQ$가 두 원 $O$, $O’$의 공통인 접선이고 점 $T$가 접점일 때, 다음의 각 경우에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\overline{AB} \pa \overline{CD}$
증명1
직선 $PQ$가 두 원 $O$, $O’$의 공통인 접선이므로 접현각의 성질을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 원 $O$에서 $\angle BAT=\angle BTQ$
- $\angle BTQ=\angle DTP$(맞꼭지각)
- 원 $O’$에서 $\angle DTP=\angle DCT$
따라서 $\angle BAT=\angle DCT$ 엇각의 크기가 같으므로 $\overline{AB} \pa \overline{CD}$입니다.
증명2
직선 $PQ$가 두 원 $O$, $O’$의 공통인 접선이므로 접현각의 성질을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- 원 $O$에서 $\angle BAT=\angle CTQ$
- 원 $O’$에서 $\angle CDT=\angle CTQ$
따라서 $\angle BAT=\angle CDT$ 동위각의 크기가 같으므로$\overline{AB} \pa \overline{CD}$입니다.
예제
다음 그림에서 직선 $PQ$가 두 원의 공통인 접선이고 점 $T$가 접점일 때, $\angle x$, $\angle y$의 크기를 각각 구하시오.
풀이
- $\angle BTQ=\angle BAT=65^\circ$
$\angle DTP=\angle BTQ=65^\circ$(맞꼭지각)
$\therefore \angle x=\angle DTP=65^\circ$\ - $\angle ATP=\angle ABT=75^\circ$
$\angle CTQ=\angle ATP=75^\circ$(맞꼭지각)
$\therefore \angle y=\angle CTQ=75^\circ$
풀이
- $\angle y=\angle ABT=70^\circ$
- $\angle x = \angle CTQ=\angle CDT=75^\circ$
접선과 현이 이루는 각의 핵심은 접점에서 만들어진 각을 같은 호에 대한 원주각으로 바꾸어 생각하는 것입니다. 이 관계를 이용하면 각의 크기를 구하는 문제뿐 아니라, 두 원과 공통접선이 등장하는 도형에서 엇각이나 동위각을 비교하여 평행을 증명하는 문제까지 자연스럽게 해결할 수 있습니다.