일차함수의 그래프와 관계식 구하기

일차함수 $y = ax + b$는 중학교 수학의 핵심 중 하나입니다. 하지만 단순한 공식 외우기로는 그래프를 정확하게 그리기 어렵고, 기울기와 절편이 어떤 의미인지 헷갈리는 경우가 많습니다. 이 글에서는 복습이 필요한 학생들을 위해 기울기, 절편의 의미로부터 관계식 구하기까지 단계별로 정리했습니다. 특히 그래프 그리는 요령과 관계식 구하는 방법을 실전 예시와 함께 설명하였습니다.

$y=ax+b$ 그래프, 기울기, 절편(복습)

$y=ax+b$ 그래프

$y=ax+b,\;(a\neq0)$의 그래프는 $y=ax$의 그래프를 위쪽으로 평행이동한 그래프이고, 다음과 같이 학습하였습니다.

• $y=ax\xrightarrow[]{\bbox[#ffff00]{y}\text{축} \bbox[#dcff8c]{b} \text{만큼 평행이동}}y=ax+\bbox[#ffff00]{b}$ ($a\neq0$)

$y=ax+b$ 기울기와 절편

1. 일반형: $y=\bbox[#ffff00]{a}x+\bbox[#dcff8c]{b},\; (a\neq0)$
2. $\bbox[#ffff00]{\text{기울기}}$: $\dfrac{y\text{값의 증가량}}{x\text{값의 증가량}}=\bbox[#ffff00]{a}$
3. 절편
   • $\bbox[#dcff8c]{y \text{ 절편}}$: $\bbox[#dcff8c]{b}$ ($y=0$)
   • $x$ 절편: $-\dfrac{b}{a}$ ($x=0$)

직선의 결정조건(복습)

일차함수는 직선이기 때문에 직선을 결정하기 위한 최소 조건이 주어지면 일차함수도 하나로 결정됩니다. 1학년에 배운 직선의 결정 조건에 대해 정리하고 이를 이용해 일차함수 그래프를 그리는 방법에 대해 정리해 봅시다.

• 직선의 결정조건 (최소 조건)
  1. 두 점이 주어진 경우
  2. 한 점과 기울기가 주어진 경우

직선의 결정조건에 대한 글은 아래의 링크를 참고해 주세요.

• 직선의 결정조건 바로가기

일차함수 그래프와 기울기

일차함수의 기울기는 $\dfrac{y\text{값의 증가량}}{x\text{값의 증가량}}$으로 계산할 수 있습니다. 좌표로 생각하고 계산하지 않고, 그래프에서 기울기를 계산하는 방법에 대해 다음의 예시를 통해 정리해 봅시다.

위의 결과를 통해 기울기를 계산할 때 증가량의 부호는 다음과 같이 적용하는 것을 알 수 있습니다.

1. $x$값의 증가량: 오른쪽(+), 왼쪽(-)
2. $y$값의 증가량: 위쪽(+), 아래쪽(-)

관계식으로 그래프 그리기

일차함수의 관계식이 주어졌을 때 그래프를 그리는 방법은 크게 다음과 같고 그래프의 정확성을 높이기 위해 $\bbox[#ffff00]{\text{점}}$은 절편을 이용해 선택하는 것이 좋습니다.

1. 두 $\bbox[#ffff00]{\text{점}}$을 이용
2. 한 $\bbox[#ffff00]{\text{점}}$과 기울기를 이용

두 점을 이용(절편)

두 점을 이용해 $y=\dfrac{1}{2}x-1$의 그래프를 그리는 방법에 대해 살펴봅시다. 관계식을 만족하는 점은 $\cdots$ $(-2,-2),$$(-1,-\dfrac{3}{2}),$$(0,-1),$$(1,-\dfrac{1}{2}),$$(2,0)$ $\cdots$이 있습니다. 그래프를 그리기 비교적 정확히 그리기 위해 어떤 점을 선택하는 것이 좋을까요?

그래프의 개형을 파악하기 위해서는 좌표평면상에 두 점의 위치가 비교적 정확해야 합니다. 따라서 정확성을 높이기 위해 좌표축과 만나는 점, 즉 $\bbox[#ffff00]{\text{절편}}$을 이용하는 것이 좋습니다.

주어진 일차함수 $y=\dfrac{1}{2}x\bbox[#ffff00]{-1}$에서 절편을 찾는 방법은 다음과 같습니다.

1. $y$ 절편: $x=0$ 일 때 $y=\bbox[#ffff00]{-1}$
2. $x$ 절편: $y=0$ 일 때 $x=\bbox[#dcff8c]{2}$

절편을 이용해 $(0,\bbox[#ffff00]{-1}),\;(\bbox[#dcff8c]{2},0)$을 지나는 직선을 그리면 보다 정확한 그래프를 그릴 수 있습니다.

한 점과 기울기를 이용

한 점과 기울기를 이용한 방법에서도 정확도를 높이기 위해 절편을 이용해 한 점을 선택하는 것이 좋습니다. $y=\bbox[#dcff8c]{2}x\bbox[#ffff00]{-1}$에서 한 점과 기울기는 다음과 같이 선택할 수 있습니다.

1. 한 점: $y$절편 이용 $\rightarrow$ $(0,\bbox[#ffff00]{-1})$
2. 기울기: $\bbox[#dcff8c]{2}$

기울기는 $x$의 증가량에 대한 $y$의 증가량의 비율이므로 다음과 같이 해석 할 수 있습니다.

• $\dfrac{\color{red}y\text{값의 증가량}}{\color{blue}x\text{값의 증가량}}=\bbox[#dcff8c]{\dfrac{\color{red}2}{\color{blue}1}}$

따라서 $y=\bbox[#dcff8c]{2}x\bbox[#ffff00]{-1}$은 $(0,\bbox[#ffff00]{-1})$을 지나고, $x$가 $\color{blue}1$증가할 때 $y$가 $\color{red}2$증가한 점$(1,1)$을 지나는 직선을 그리면 됩니다.

일차함수 관계식 구하기

조건에 따라 일차함수의 관계식을 구하는 방법에 대해 살펴봅시다. 이 과정도 직선의 결정 조건에 따라 두 가지 유형으로 나누어 정리할 수 있습니다.

1. 일차함수 위의 한 점과 기울기가 주어진 경우
2. 일차함수 위의 두 점이 주어진 경우

기울기와 한 점이 주어진 경우

한 점 $(-2,9)$를 지나고 기울기가 $\bbox[#ffff00]{-4}$ 인 일차함수 관계식을 구하는 과정에 대해 정리해 봅시다.

먼저 기울기가 $\bbox[#ffff00]{-4}$인 일차함수 관계식은 다음과 같습니다.

• $y=\bbox[#ffff00]{-4}x+b$

위의 관계식에 점 $(-2,9)$를 대입하여 정리하면 $9=\bbox[#ffff00]{-4}\times(-2)+b$이고 $\therefore\; b=1$ 이므로, 일차함수 관계식은 $y=\bbox[#ffff00]{-4}x+1$입니다.

두 점이 주어진 경우

$(-2,-1),\;(1,5)$를 지나는 일차함수 관계식을 구하는 방법에 대해 살펴봅시다.

연립방정식 이용

일차함수의 관계식을 $y=ax+b$이라 두고 $(-2,-1),\;(1,5)$을 대입

$\begin{cases}-2a+b=-1\cdots(ㄱ)\\a+b=5\cdots(ㄴ)\end{cases}$

$\begin{align}\quad&-2a+b=-1\\
-)&\quad \;\; a+b=5\\
\hline
\quad& -3a=-6\end{align}$

$\therefore \; a=2,\; b=3$ 이고 일차함수 관계식은 $y=2x+3$입니다.

기울기 이용

$\bbox[#ffff00]{(-2,-1)},\;\bbox[#dcff8c]{(1,5)}$을 지나는 일차함수 $y=\bbox[#94feff]{a}x+b$의 기울기($\bbox[#94feff]{a}$)는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\bbox[#94feff]{a}=\dfrac{y\text{값의 증가량}}{x\text{값의 증가량}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{5}-(\bbox[#ffff00]{-1})}{\bbox[#dcff8c]{1}-(\bbox[#ffff00]{-2})}=\bbox[#94feff]{2}$

$y=\bbox[#94feff]{2}x+b$에 $(1,5)$를 대입하면 $b=3$이고 따라서 관계식은 $y=2x+3$입니다.

$x$ 절편과 $y$ 절편이 주어진 경우

$x$절편이 $-3$, $y$절편이 $2$인, 일차함수 관계식을 구하는 과정에 대해 정리해 봅시다. 절편을 통해 일차함수 위의 두 점을 $(-3,0),(0,2)$를 이용해 다음과 같이 풀이할 수 있습니다.

연립방정식 이용

일차함수 $y=ax+b$가 두 점을 $(-3,0),(0,2)$을 지나므로 연립방정식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.

$\begin{cases} 0=-3a+b\\2=b\end{cases}$

$\therefore\; a=\dfrac{2}{3},\;b=2$ 이고 관계식은 $y=\dfrac{2}{3}x+2$입니다.

기울기와 y절편 이용

두 점을 $\bbox[#ffff00]{(-3,0)},\bbox[#dcff8c]{(0,{\color{red}2})}$을 지나는 직선의 기울기와 $y$절편은 다음과 같습니다.

• 기울기: $\dfrac{y\text{값의 증가량}}{x\text{값의 증가량}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{2}-\bbox[#ffff00]{0}}{\bbox[#dcff8c]{0}-(\bbox[#ffff00]{-3})}={\color{blue}\dfrac{2}{3}}$
• $y$절편: $\color{red}2$

따라서 일차함수 관계식은 $y={\color{blue}\dfrac{2}{3}}x+{\color{red}2}$입니다.