이차함수의 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표는 그래프의 위치를 결정하는 중요한 요소입니다. 표준형 $y=a(x-p)^2+q$에서는 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 식에서 바로 확인할 수 있지만, 일반형 $y=ax^2+bx+c$에서는 이를 구하는 과정이 필요합니다.
이번 글에서는 이차함수의 표준형과 일반형에서 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 구하는 방법을 정리해 보겠습니다. 특히 일반형의 축의 방정식 $x=-\dfrac{b}{2a}$가 어떻게 유도되는지 완전제곱식과 항등식의 성질을 이용하여 살펴보고, 고등학교에서 배우는 미분을 이용한 방법까지 연결해 보겠습니다.
표준형의 축과 꼭짓점
이차함수 표준형 $y=a(x-p)^2+q$이 주어질 때 꼭짓점과 축의 방정식은 아래와 같습니다.
- 꼭짓점의 좌표: $(p,q)$
- 축의 방정식: $x=p$
꼭짓점과 축의 방정식을 생각할 때 다음과 같이 계산 하면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.
설명
- 꼭짓점의 $x$좌표는 $x-p=0$인 $x=p$
- $y=a\bbox[#ffff00]{(x-p)^2}+q$에서 $\bbox[#ffff00]{(x-p)^2} \ge 0$이고, $x=p$에서 유일하게 최솟값 $\bbox[#ffff00]{0}$이 됩니다. 따라서 이 $x$값이 꼭짓점의 $x$좌표입니다.
- 축의 방정식은 꼭짓점을 지나고 $y$축에 평행하므로 $x=p$
일반형의 축과 꼭짓점
이차함수의 일반형 $y=ax^2+bx+c$가 주어진 경우 꼭짓점의 $x$좌표나 축의 방정식을 먼저 구하고 이 값을 대입해 꼭짓점의 $y$좌표를 계산합니다.
먼저 꼭짓점의 $x$ 좌표 $-\dfrac{b}{2a}$를 구하는 다양한 방법에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
- $y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$
- $ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$의 항등식 성질 이용
- $f(x)=ax^2+bx+c$로 두고 $f'(x)=0$인 $x$좌표 이용
1번은 이차함수의 일반형에서 다루었으므로 2, 3번에 대해서 정리해 보겠습니다.
2 설명
1을 통해 $ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$으로 변형할 수 있음을 알게 되었습니다. 따라서 계수비교법을 이용하면 꼭짓점의 $x$좌표 $p$의 값을 구할 수 있습니다.
- $ax^2+bx+c=ax^2-2apx+ap^2+q$
일차항을 비교하면 $b=-2ap$이고, $p=-\dfrac{b}{2a}$입니다.
3 설명
주어진 이차함수를 미분하면 $f'(x)=2ax+b$이고, 꼭짓점에서 접선의 기울기가 $0$이므로
- $f'(x)=0$, $2ax+b=0$
따라서 $x=-\dfrac{b}{2a}$에서 접선의 기울기가 0 이고, 꼭짓점의 $x$좌표는 $-\dfrac{b}{2a}$입니다.
이번 글에서는 이차함수의 표준형과 일반형에서 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 구하는 방법을 정리했습니다. 표준형 $y=a(x-p)^2+q$에서는 꼭짓점의 좌표가 $(p,q)$이고 축의 방정식은 $x=p$이므로, 괄호 안의 식 $x-p=0$을 이용하면 부호 실수 없이 꼭짓점의 위치를 확인할 수 있습니다.
일반형 $y=ax^2+bx+c$에서는 완전제곱식으로 변형하거나 항등식의 계수를 비교하여 꼭짓점의 $x$좌표가 $-\dfrac{b}{2a}$임을 구할 수 있습니다. 또한 고등학교에서 배우는 미분을 이용하면 꼭짓점에서 접선의 기울기가 $0$이라는 성질을 통해 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 이 $x$값을 주어진 함수에 대입하여 꼭짓점의 $y$좌표를 계산하면 됩니다.